Problème Al Khwarizmi est un mathématicien persan du IXème siècle de notre ère, qui a "classifié" les équations de degré inférieur ou égal à 2. Pour lui, les équations sont toujours à coefficients positifs, c'est pourquoi, dans sa classification, il en distingue 6 types. L'objet de ce problème est d'étudier les 3 derniers types sur des exemples. À l'époque d'Al Khwarizmi, l'usage des lettres pour les équations était inconnu, on utilisait des phrases pour les exprimer. Partie 1 Étude des équations du type ax² + bar = c On se propose de résoudre l'équation E₁ suivante : E₁: "un carré et dix de ces racines sont égaux à 39 dirhams" En algèbre, Al Khwarizmi considère plusieurs sortes de nombres : les nombres simples ou dirhams (de la drachme, monnaie grecque), les racines et les carrés qui sont les produits de racines par elles-mêmes. Dans la suite on dira plutôt nombre que dirham. 1. Ecrire l'équation E₁ que veut résoudre Al Khwarizmi (sous forme algébrique). La justification de la méthode de résolution de l'équation donnée par Al Khwarizmi s'appuie sur une figure géométrique (voir figure 1 en annexe). Il cherche à déterminer le côté z d'un carré ABCD de telle manière que, si on lui ajoute deux rectangles de côtés z et 5, BEFC et DCHI, on obtienne une figure AEFCHI dont l'aire soit 39. 2.a. A partir de la Figure 1 en annexe, exprimer l'aire A, du polygone AEFCHI en fonction de r. b. Quelle est l'aire A2 du carré hachuré? c. En exprimant de deux manières l'aire du carré AEGI, trouver une équation qui permette de calculer 2. Quelle est la valeur de x calculée par Al Khwarizmi? 3. Résoudre algébriquement l'équation E₁ (par la méthode du discriminant vue en cours). Quelle est la valeur qu'Al Khwarizmi n'obtient pas? 4. Résoudre l'équation r² + 12x = 85: a. Par la méthode d'Al Khwarizmi. b. Par la méthode algébrique du cours. ​