Réponse:
1.
a. Calcul des premiers termes :
- \( a_0 \) : Le côté du premier carré est 3, donc \( a_0 = 3^2 = 9 \).
- \( a_1 \) : Le côté du deuxième carré est la moitié du côté du premier, donc \( a_1 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \).
b. Nature de la suite \( (a_n) \) : Il s'agit d'une suite géométrique décroissante car chaque terme est la moitié du terme précédent.
c. Sens de variation de la suite \( (a_n) \) : La suite \( (a_n) \) est décroissante car chaque terme est la moitié du terme précédent, donc \( a_{n+1} < a_n \).
d. Conjecture sur la limite de la suite \( (a_n) \) : Comme la suite est géométrique et décroissante, elle converge vers 0.
2.
a. Expression de \( S_n \) en fonction de \( n \) :
\[ S_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n \]
\[ S_n = 9 + \frac{9}{4} + \frac{9}{4^2} + \ldots + \frac{9}{4^n} \]
Utilisant la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :
\[ S_n = 9 \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{4^n}\right) \]
\[ S_n = 9 \left(\frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{4}}\right) \]
\[ S_n = 9 \left(\frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{\frac{3}{4}}\right) \]
\[ S_n = 12 \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right) \]
b. Conjecture sur la limite de la suite \( (S_n) \) : Lorsque \( n \) tend vers l'infini, \( \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1} \) tend vers 0, donc la limite de \( S_n \) est 12.
voilà voilà
