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### Exercice 1
a. Étude des limites de la fonction \( f(x) = \frac{x}{\ln(x)} \) :
1. Limite en \( x = 1 \) :
Pour étudier la limite en \( x = 1 \), nous utilisons le développement limité de \( \ln(x) \) autour de \( x = 1 \) :
\[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\ln(x)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{1} = 1 \]
2. Limite en \( x \to +\infty \) :
En \( x \to +\infty \), \( \ln(x) \) tend vers \( +\infty \), donc \( \frac{x}{\ln(x)} \) tend vers \( +\infty \).
b. Étude du sens de variation de la fonction \( f \) :
Pour étudier le sens de variation de \( f(x) \), nous dérivons \( f(x) \) :
\[ f'(x) = \frac{\ln(x) - 1}{\ln^2(x)} \]
La dérivée est négative sur \( (1, +\infty) \) car \( \ln(x) > 1 \) pour \( x > e \), donc \( \ln(x) - 1 > 0 \) pour \( x > e \), ce qui donne \( f'(x) < 0 \).
Donc, la fonction \( f(x) \) est décroissante sur \( (1, +\infty) \).
c. Démonstration que si \( x > e \), alors \( f(x) > e \) :
Comme la fonction est décroissante sur \( (1, +\infty) \), si \( x > e \), alors \( f(x) < f(e) \).
Calculons \( f(e) \) :
\[ f(e) = \frac{e}{\ln(e)} = \frac{e}{1} = e \]
Donc, si \( x > e \), alors \( f(x) < e \).
Exercice 2
a. Démonstration que \( \forall n \in \mathbb{N} \), \( u_n \geq 5 \) :
Nous avons \( u_0 = 5 \) et nous montrerons par récurrence que \( u_n \geq 5 \) pour tout \( n \).
- Pour \( n = 0 \), c'est vrai car \( u_0 = 5 \).
- Supposons que \( u_k \geq 5 \) pour un certain \( k \).
- Montrons que \( u_{k+1} = f(u_k) \geq 5 \). Comme \( f(x) \) est croissante sur \( (5, +\infty) \), et \( u_k \geq 5 \), alors \( f(u_k) \geq f(5) = 5 \).
Par récurrence, \( u_n \geq 5 \) pour tout \( n \).
b. Détermination du sens de variation de \( (u_n) \) :
Puisque \( u_n \) est croissant et \( u_n \geq 5 \), alors \( (u_n) \) est croissant.
c. Convergence de \( (u_n) \) et détermination de sa limite \( l \) :
Comme \( (u_n) \) est croissant et majorée par 5, alors elle converge. Notons sa limite \( l \).
Ensuite, en utilisant le fait que \( f(x) \) est continue, on peut dire :
\[ l = \lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\lim_{n \to +\infty} u_n) = f(l) \]
Donc, \( l = f(l) \).
La solution de cette équation est \( l = e \), car si \( x = e \), alors \( f(x) = e \).
d. Fonction Python pour trouver le plus petit entier \( n \) tel que \( u_n \leq A \) :
python
import math
def seuil(A):
u = 5
n = 0
while u > A:
u = u / math.log(u)
n += 1
return n
print(seuil(2.72))
En saisissant la commande `seuil(2.72)` dans la console Python, on obtient le résultat : `3`. Cela signifie que le plus petit entier \( n \) tel que \( u_n \leq 2.72 \) est \( n = 3 \).
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