Soit ABD un triangle rectangle en A, I le milieu de [BD) et C le symétrique de A par rapport à I.
a) montrer que l'angle DCB est droit
b)montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles
c)montrer que l'angle ADC est droit

Question

Mathématiques

résolu

Soit ABD un triangle rectangle en A, I le milieu de [BD) et C le symétrique de A par rapport à I.
a) montrer que l'angle DCB est droit
b)montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles
c)montrer que l'angle ADC est droit

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Réponse:

a) Comme C est le symétrique de A par rapport à I, alors IC = AC et donc le triangle AIC est isocèle en I. Comme le triangle ABD est rectangle en A, alors l'angle ABD est droit. Donc l'angle DCB est la somme des angles ACD et ADB, qui sont égaux car les triangles ACD et ADB sont isocèles en C et D respectivement. Donc l'angle DCB est droit.

b) Comme les triangles ACD et ADB sont isocèles en C et D respectivement, alors les droites (AC) et (AD) sont perpendiculaires à (BD). Comme I est le milieu de [BD], alors (AC) et (AD) sont également parallèles. Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

c) Comme les droites (AB) et (CD) sont parallèles, alors les angles ADC et ADB sont alternes-internes et donc de même mesure. Comme l'angle ADB est droit, alors l'angle ADC est également droit.