Réponse:
a) Pour vérifier que le point \(M(0,5; 1)\) est un point d'intersection des courbes, substituons les coordonnées de \(M\) dans les équations des courbes \(y = 4x\) et \(y = \frac{4x}{4x^2+1}\):
1. Pour la courbe \(y = 4x\):
\[y = 4 \cdot 0,5 = 2\]
2. Pour la courbe \(y = \frac{4x}{4x^2+1}\):
\[y = \frac{4 \cdot 0,5}{4 \cdot (0,5)^2 + 1} = 1\]
Les coordonnées de \(M\) satisfont les deux équations, donc \(M(0,5; 1)\) est un point d'intersection des courbes.
b) Pour déterminer l'autre point d'intersection, égalons les équations des deux courbes et résolvons pour \(x\):
\[4x = \frac{4x}{4x^2+1}\]
En simplifiant, on obtient \(4x^2 + 1 = 1\), et en annulant le \(1\) des deux côtés, on obtient \(4x^2 = 0\). La seule solution est \(x = 0\).
Substituons cette valeur de \(x\) dans l'une des équations pour obtenir \(y\). Utilisons \(y = 4x\):
\[y = 4 \cdot 0 = 0\]
Donc, l'autre point d'intersection est \(N(0; 0)\).
