Réponse :
Bonsoir,
Explications étape par étape :
Comme on demande une justification, trouver une solution ne suffit pas.
Sans nuire à la généralité, on peut supposer a ≤b ≤c, a≠0,b≠0,c≠0.
[tex]\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} =1\\\\bc+ac+ab=abc\\\\a\leq b \Longrightarrow\ a.c\leq b.c\\a\leq b\leq c \Longrightarrow\ a.b\leq b^2\leq bc\\\\\\abc=b.c+a.c+a.b \leq bc+bc+bc\\\Longrightarrow\ abc \leq 3\\[/tex]
[tex]si\ a=1\ abc=ab+ac+bc \Longrightarrow\ bc=b+c+bc \Longrightarrow\ b+c=0\ impossible\\\\si\ a=2\ abc=ab+ac+bc \Longrightarrow\ 2bc=2b+2c+bc \Longrightarrow\ bc=2b+2c\\b\leq c \Longrightarrow\ b+c\leq 2c \Longrightarrow\ bc=2b+2c\leq 4c\Longrightarrow\ b\leq 4\\\\si\ b=1\ comme\ a\leq b \impossible\\\\si\ b=2\ bc=2b+2c \Longrightarrow\ 2c=4+2c \Longrightarrow\ 0=4\ impossible\\\\si\ b=3: \ 3c=2*3+2c \Longrightarrow\ c=6\\(2,3,6)\ est\ une \ solution.\\\\[/tex]
[tex]si\ b=4:\ 2*4+2c=4c \Longrightarrow\ c=4\\(2,4,4)\ serait\ une\ solution\ mais\ 2\ nombres\ sont\ identiques\\[/tex]
[tex]si\ a=3:\ bc+3c+3a=3bc \Longrightarrow\ 3a+3c\leq 2bc\\\\a\leq c \Longrightarrow\ 3a+3c\leq 6c \Longrightarrow\ a\leq c \Longrightarrow\ 2bc\leq 6c \Longrightarrow\ b\leq 3\\si\ b=1: impossible\ car\ a=3\\si\ b=2: impossible\ car\ a=3\\si\ b=3: 3a+3c=2bc \Longrightarrow\ c=3\\\\(3,3,3)\ serait\ une\ solution\ mais\ il \ y\ a\ des\ nombres\ identiques.\\[/tex]
Une seule solution: [tex]\boxed{\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{6} =1}\\[/tex]
