Bonjour ! J’ai beaucoup de mal avec cet exercice et j’ai très peu de temps pour le faire, y’a t’il quelqu’un qui puisse m’aider s’il vous plaît ?


Méthode de Cardan.
L'objectif de cet exercice est de découvrir la méthode de
Cardan pour résoudre des équations polynomiales de degré 3 de la forme: x+px+q=0 pour p et q des
réels quelconques.

Soient p et q deux réels quelconques.
On appelle (E) l'équation: x+px+q=0.

1. Soit u et v deux réels. Montrer que:
(u+v)³-3u x v(u+v)-(u³+v³)=0.

2. Ainsi, en posant le changement de variable x= u+v, on obtient (E’): x³-3 x u x v x x-(u³+v³)=0.
On cherche donc u et v tels que u x v=-p/3 et
u³+v³= -q.
Ou encore, on cherche u et v tels que 27 et
u³+v³= -p³/27

Si on pose a u³ et B = v³, cela revient à chercher
a et ẞ dont on connaît la somme S et le produit P:

P=aß=-p³/27 et
S = a+B=-q.

a. Donner une équation du second degré dont a et ẞ sont solutions.

b. Déterminer, en fonction de p et q, le discriminant
delta de cette équation.

c. Dans le cas où delta> 0, donner, en fonction de p et q,les solutions de cette équation du second degré.

d. En déduire une solution de l'équation (E).


3. Résoudre l'équation: x³-36x-91=0. (On utilisera la méthode de Cardan pour trouver une solution xo, puis on
factorisera le polynôme par (x-xo) grâce à la méthode de son choix.


Merci d’avance !