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résolu

Exercice 1: On donne les nombres A=0, 234 234 234....... Et B-0,57 57 57 57......
Les pointillés indiquent que les groupes de chiffres 234 et 57 se répètent à l'infini.
1) Calculer 1000A, puis 1000A-A.
2) Montrer alors que A
234
999
3) Par un procédé de même type, à trouver, montrer que BEQ (ensemble des nombres
rationnels, leçon 8).
4) Inventer un nombre C qui s'écrit avec une infinité de chiffres après la virgule et qui peut
s'écrire sous forme de fraction.
5) On a prouvé en classe que √2 n'est pas une fraction.
a) Ecrire la valeur arrondie de √2 à 0,00001 près. (Leçon 8 page 3)
b) Que peut-on conjecturer concernant les chiffres situés après la virgule?

Répondre :

ANITABOIDRONEN

Réponse:

1) Calcul de 1000A :

1000 * 0,234234234... = 234,234234234...

Calcul de 1000A - A :

1000A - A = 234,234234234... - 0,234234234... = 234

2) Montrer que A = 234/999 :

On sait que 1000A - A = 234, et on a déjà trouvé que 1000A = 234,234234234...

Donc en soustrayant A de 1000A, on obtient 234, ce qui est égal à 234/999.

3) Pour montrer que B est un nombre rationnel, on peut utiliser un raisonnement similaire à celui que nous avons utilisé pour A.

4) Un exemple de nombre C qui peut s'écrire sous forme de fraction est 0,363636..., ce qui est équivalent à 36/99.

5) a) La valeur arrondie de √2 à 0,00001 près est environ 1,41421.

b) En observant les décimales de √2, on peut conjecturer que celles-ci ne se répètent pas et n'entrent pas dans un schéma régulier, indiquant ainsi que √2 est irrationnel.

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