1) Pour déterminer l'équation réduite de la tangente à C au point d'abscisse 3, nous devons d'abord calculer la dérivée de la fonction f, puis évaluer cette dérivée en x=3 pour obtenir la pente de la tangente.
La dérivée de f est donnée par f'(x) = 12x² + 7. En évaluant f'(3), nous obtenons f'(3) = 12*(3)² + 7 = 108 + 7 = 115. Cela signifie que la pente de la tangente à C au point d'abscisse 3 est égale à 115.
Maintenant, connaissant la pente de la tangente et le point d'abscisse 3, nous pouvons écrire l'équation réduite de la tangente à C au point (3, f(3)). Soit la tangente T à C au point (3, f(3)) d'équation y = 115x + b. Pour trouver b, nous devons évaluer f(3) pour obtenir l'ordonnée du point d'intersection. Ainsi, f(3) = 4*(3)³ + 7*3 - 8 = 108 + 21 - 8 = 121.
Donc l'équation réduite de la tangente à C au point d'abscisse 3 est y = 115x + 121.
2) Nous devons vérifier si une tangente à C peut être parallèle à la droite d'équation y = 6x - 2. Pour qu'une tangente soit parallèle à une droite, leurs pentes doivent être égales. Ainsi, la pente de la tangente doit être égale à 6.
En calculant la dérivée de f, nous obtenons f'(x) = 12x² + 7. Il n'existe pas de solution de l'équation 12x² + 7 = 6. Par conséquent, il n'existe pas de tangente à Cf parallèle à la droite d'équation y = 6x - 2.
3) De manière similaire, pour la droite d'équation y = 5 + 31x, la pente est 31. Nous devons vérifier si la pente de la tangente à C est égale à 31.
En résolvant 12x² + 7 = 31, nous obtenons :
12x² = 31 - 7
12x² = 24
x² = 2
x = ±√2
La tangente à Cf d'équation y = 31x + b est donc parallèle à la droite y = 5 + 31x.
