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Dans un morceau de carton carré de 12 centimètres de côté, on découpe dans chaque coin des carrés de x centimètres de côté.
Avec la feuille ainsi découpée, en relevant les bords, on construit une boîte sans couvercle.
1. Expliquer pourquoi les valeurs possibles de x appartiennent à l'intervalle ]0;6[.
tu as un carré de côté 12 - de chq côté on enlève un coin de x cm
donc la longueur du côté devient 12-x-x soit 12-2x
ce côté existe si longueur côté > 0 donc si 12-2x > 0
donc si x < 6
d'où x € ]0 ; 6[
2. Montrer que l'expression du volume V(x) de la boite en fonction de x s'écrit sous la forme :
V(x)=4x³-48x²+144x.
On rappelle que le volume V d'un parallélépipède rectangle est donné par la formule: V=Bxh avec
B l'aire de la base du parallélépipède rectangle et h sa hauteur.
V boite= aire base x haut = (12-2x)² * x
tu développes
Dans la suite, nous étudierons la fonction V définie sur l'intervalle ]0;6[.
3. Calculer la dérivée de V.
V(x)=4x³-48x²+144x.
V'(x) = 12x² - 96x + 144 avec formules de cours
4. Dresser le tableau de variations de V sur ]0;6[.
a => signe de V'(x)
b => tableau de variations
a) signe de 12x²-96x+144 ?
tu dois factoriser pour tableau de signes - tu calcules donc les racines via le discriminant - tu arrives à x'=2ou x'=6
soit signe de 12(x-2) (x-6)
x 0 2 6
x-2 - 0 +
x-6 - -
final + 0 -
donc variations de V(x)
x 0 2 6
V(x) C V(2) D
Croissante et Décroissante
5. En déduire le volume maximal de la boite.
volume max pour x = 2 ; reste à calculer V(2)
