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résolu

On met en place une loterie sans mise initiale. Le jeu consiste à tirer au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Si c'est 7, 8, 9 ou 10 on perd 10 €, si c'est une figure (valet, dame ou roi) on gagne 10 €, si c'est un as on gagne 20 €.
Notons X, la variable aléatoire représentant le gain en euros à l'issue d'un tirage.
1) Quelles sont les valeurs prises par X ?
2) Déterminer la loi de probabilité de X
3) Calculer E(X) et interpréter le résultat obtenu.
4) Cette loterie est-elle défavorable pour l'utilisateur ? Justifier.
5) L'organisateur prend la décision de mettre en place une mise initiale à payer par le candidat.
Quelle doit être le montant en euros de cette mise pour que la loterie soit équitable?

Répondre :

1) Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont :

- Si on tire un 7, 8, 9 ou 10 : perte de 10 €, donc X = -10.

- Si on tire un valet, une dame ou un roi : gain de 10 €, donc X = 10.

- Si on tire un as : gain de 20 €, donc X = 20.

2) Déterminons la loi de probabilité de X :

- La probabilité de tirer un 7, 8, 9 ou 10 est de 4/32 = 1/8.

- La probabilité de tirer un valet, une dame ou un roi est de 12/32 = 3/8.

- La probabilité de tirer un as est de 1/32.

Donc, la loi de probabilité de X est :

- P(X = -10) = 1/8.

- P(X = 10) = 3/8.

- P(X = 20) = 1/32.

3) Calculons l'espérance de X (E(X)) :

E(X) = (-10) * (1/8) + 10 * (3/8) + 20 * (1/32)

= -10/8 + 30/8 + 20/32

= (-10 + 30 + 20) / 8

= 40/8

= 5

L'espérance de gain est de 5 €. Cela signifie en moyenne, à long terme, un joueur peut s'attendre à gagner 5 € à chaque tirage.

4) Cette loterie est défavorable pour l'utilisateur car l'espérance de gain est positive. Cela signifie que sur le long terme, le joueur peut s'attendre à perdre de l'argent.

5) Pour que la loterie soit équitable, l'espérance de gain doit être nulle. Pour cela, l'organisateur doit s'assurer que l'espérance de X soit égale à zéro. Comme nous avons déjà calculé que l'espérance de X est de 5 €, l'organisateur doit fixer la mise initiale de telle sorte que la somme des gains et des pertes soit nulle en moyenne. Pour cela, il peut utiliser la formule suivante :

Mise initiale * probabilité de perdre 10 € + Mise initiale * probabilité de gagner 10 € + Mise initiale * probabilité de gagner 20 € = 0

En résolvant cette équation, on peut trouver la valeur de la mise initiale pour que la loterie soit équitable.

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