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résolu

On place la somme de 1 500 € sur un compte à intérêts composés au taux annuel de 3,5 %.

a. Au bout de combien d'années disposera-t-on d'au moins 5 000 € ? (On attend une

résolution algébrique et non une valeur trouvée par "tâtonnements")
b. Écrire un algorithme en Python qui permet également de répondre à la question.

Répondre :

a. Pour résoudre cette question de manière algébrique, nous pouvons utiliser la formule des intérêts composés :

\[A = P \times (1 + r)^n\]

Où :
- \(A\) est le montant total après \(n\) années
- \(P\) est le principal (ou le montant initial)
- \(r\) est le taux d'intérêt (sous forme décimale)
- \(n\) est le nombre d'années

Dans ce cas, \(P = 1500\), \(r = 0.035\) et \(A = 5000\). Nous devons résoudre pour \(n\).

\[5000 = 1500 \times (1 + 0.035)^n\]

Divisons chaque côté par 1500 :

\[ \frac{5000}{1500} = (1 + 0.035)^n\]

Calculons le côté gauche :

\[ \frac{5000}{1500} = 3.3333...\]

Prendre le logarithme des deux côtés :

\[ \log(3.3333...) = \log((1 + 0.035)^n)\]

\[ \log(3.3333...) = n \times \log(1.035)\]

Divisons chaque côté par \(\log(1.035)\) :

\[ n = \frac{\log(3.3333...)}{\log(1.035)}\]

Nous pouvons maintenant calculer \(n\).

\[ n = \frac{\log(3.3333...)}{\log(1.035)} \approx 19.89\]

Donc, il faudra environ \(20\) ans pour disposer d'au moins \(5000 €\).

b. Voici un algorithme en Python pour répondre à cette question :

```python
import math

def years_to_reach_goal(principal, interest_rate, goal_amount):
# Calculer le nombre d'années nécessaires pour atteindre l'objectif
years = math.log(goal_amount / principal) / math.log(1 + interest_rate)
return math.ceil(years)

# Test de la fonction
principal = 1500
interest_rate = 0.035
goal_amount = 5000

years_needed = years_to_reach_goal(principal, interest_rate, goal_amount)
print(f"Il faudra {years_needed} années pour disposer d'au moins {goal_amount} €.")
```



Ce code calcule le nombre d'années nécessaires pour atteindre l'objectif en utilisant la formule des intérêts composés. Ensuite, il arrondit le résultat au nombre entier supérieur car vous ne pouvez pas avoir un nombre fractionnaire d'années.
Voir l'image MOGHAVEMIADRIAN2009
REZALBEN

Réponse :

a)le coefficient multiplication traduisant une augmentation de 3,5 % :

1 + [tex]\frac{3,5}{100}[/tex] = 1,035

On note x  le nombre d'année que ça prendre donc on résout :

1500* 1,035^^x = 5000

<=> 1,035^^x = 5000/1500 =10/3

<=> ln([tex]1,035^{x}[/tex]) = ln([tex]\frac{10}{3}[/tex]) car la fonction ln est croissante sur ]0 +oo[

<=>xln(1,035) = ln([tex]\frac{10}{3}[/tex])

<=> x = ln([tex]\frac{10}{3}[/tex]) / ln(1,035) environ égal à 35,0 à [tex]10^{-1}[/tex] près

Donc au bout de la 35 ième année on dépasse ce seuil de 5000 euros.

b) je te le mets en fichier joint je les test il marche niquel mets pas le print ct juste pour vérifier on obtient bien 35.

Explications étape par étape :

Voir l'image REZALB
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