On note x la longueur du rectangle, et alors on a que l'aire du rectangle vaut longueur*largeur = 1 pour cet exercice donc la largeur vaut 1/longueur=1/x.
Ainsi, le périmètre vaut 2*(longueur +largeur) et on cherche a le minimiser.
On cherche donc à minimiser 2*(x +1/x), ce qui revient à minimiser x +1/x pour x positif.
On pose donc f(x) = x +1/x
Le taux d'accroissement en x vaut alors :
t(h) = (f(x+h) -f(x) )/h
= (x+h +1/(x+h) - x -1/x)/h= (h +1/(x+h) -1/x))/h
= 1 - 1/(x*(x+h))
et lim t quand h->0, t=1 - 1/x² donc le taux est positif pour x >1 et négatif pour <1, donc le minimum est atteint en x = 1, donc la longueur et la largeur vaut 1, ce qui signifie que le rectangle qui minimise son périmètre pour une aire fixée est un carré!
