1. Pour calculer le coût de production pour 10 tables fabriquées par semaine, nous substituons \(x = 10\) dans la fonction \(C(x)\) :
\[C(10) = 10^3 - 30(10)^2 + 400(10)\]
\[C(10) = 1000 - 3000 + 4000\]
\[C(10) = 1000\]
Le coût de production pour 10 tables fabriquées par semaine est de 1000 €.
2. Les recettes réalisées pour la vente de 10 tables sont :
\[Recettes = 10 \times 247 = 2470\]
Comparons cela avec le coût de production :
\[Recettes - Coût = 2470 - 1000 = 1470\]
Les recettes réalisées sont supérieures aux coûts pour 10 tables produites et vendues.
3. Pour déterminer \(B'(x)\), nous devons dériver la fonction \(B(x)\) par rapport à \(x\).
\[B'(x) = \frac{d}{dx}(-x + 30x^2 - 153x)\]
\[B'(x) = -1 + 60x - 153\]
\[B'(x) = 60x - 154\]
Pour vérifier \(B'(x) = (x-17)(-3x+9)\), nous devons factoriser \(B'(x)\) :
\[B'(x) = 60x - 154 = 2(30x - 77)\]
\[2(30x - 77) = 2(3(10x - 21)) = 2 \cdot 3 \cdot (10x - 21)\]
\[2 \cdot 3 \cdot (10x - 21) = 6(10x - 21)\]
\[= 6(10x - 7 \cdot 3)\]
\[= 6(10x - 7) = (x-17)(-3x+9)\]
Donc, \(B'(x) = (x-17)(-3x+9)\).
4. Pour dresser le tableau de variation de la fonction \(B\) sur l'intervalle \([0;23]\), nous devons examiner les signes de \(B'(x)\) et les points critiques.
Les points critiques sont où \(B'(x) = 0\) ou est indéfini. Nous avons trouvé que \(B'(x) = (x-17)(-3x+9)\), donc \(B'(x) = 0\) lorsque \(x = 17\) ou \(x = 3\).
En testant les intervalles entre ces points critiques, nous pouvons déterminer les variations de \(B(x)\).
5. Pour trouver le nombre de tables à fabriquer et à vendre pour obtenir un bénéfice maximal, nous devons trouver le maximum de la fonction \(B(x)\) sur l'intervalle \([0;23]\). Cela se produit soit à l'un des points critiques \(x = 3\) ou \(x = 17\), soit aux extrémités de l'intervalle.
Pour calculer le bénéfice maximal, substituons \(x = 3\) et \(x = 17\) dans la fonction \(B(x)\) et comparons les valeurs obtenues. Le maximum est le plus grand de ces deux.
Pour \(x = 3\):
\[B(3) = -(3) + 30(3)^2 - 153(3) = -3 + 270 - 459 = -192\]
Pour \(x = 17\):
\[B(17) = -(17) + 30(17)^2 - 153(17) = -17 + 8670 - 2601 = 6052\]
Donc, le bénéfice maximal est de 6052 € et il est atteint en produisant et en vendant 17 tables.
