Réponse :
Proposition 1 : Vrai
Pour tout entier naturel non nul n, U2n+1U2n+1 fait référence à un terme de la suite (Un)(Un) pour les indices impairs. Dans ce cas, U2n+1=32n+1U2n+1=2n+13. Cette proposition est vraie car elle définit correctement un terme de la suite (Un)(Un) pour les indices impairs.
Proposition 2 : Fausse
La suite (Vn) est définie par la relation de récurrence Vn+1=3Vn2+Vn+5Vn+1=3Vn2+Vn+5. Pour montrer si la suite est croissante ou non, il faut analyser le comportement de Vn+1−VnVn+1−Vn. En faisant cette soustraction, on ne peut pas déterminer immédiatement si la suite est croissante. Il faut effectuer une analyse plus détaillée du comportement de la suite pour chaque nn.
Proposition 3 : Fausse
Si (Wn)(Wn) est une suite arithmétique de raison rr et de premier terme W0W0, alors Wn=W0+nrWn=W0+nr. En utilisant les données W50=406W50=406 et W100=806W100=806, on peut déterminer rr en soustrayant les deux termes et en divisant par la différence d'indice. Cependant, la valeur de W1W1 est différente de 6, elle dépend du premier terme W0W0 et de la raison rr, donc la proposition est fausse.
Proposition 4 : Vrai
Si (tn)(tn) est une suite géométrique de raison qq et de premier terme t1t1, alors tn=t1×qn−1tn=t1×qn−1. On peut utiliser les données t1=12t1=12 et t5=3072t5=3072 pour déterminer qq. Ensuite, t7=t1×q7−1t7=t1×q7−1 doit être égal à 49152 si la proposition est vraie. En effectuant les calculs, on trouve q=4q=4, et effectivement, t7=49152t7=49152.
Proposition 5 : Fausse
La proposition énonce une somme de termes d'une suite arithmétique (la suite commence par 2 et s'incrémente de 3 à chaque pas). Pour calculer cette somme, on peut utiliser la formule de la somme des nn premiers termes d'une suite arithmétique : Sn=n2(a1+an)Sn=2n(a1+an), où a1a1 est le premier terme, anan est le dernier terme et nn est le nombre de termes. En utilisant cette formule, on trouve S100=1002(2+302)=15200S100=2100(2+302)=15200. La proposition est donc vraie.e par étape :
