Bonjour
Partie A :
1) f'(x) = 1 - [tex]\frac{\frac{1}{1+x}(1+x)-ln(1+x)*1 }{(1+x)^2}[/tex] = 1 - [tex]\frac{1-ln(1+x)}{(1+x)^2}[/tex] = [tex]\frac{(1+x)^2-1+ln(1+x)}{(1+x)^2}[/tex]
2) a) N(x) = (1 + x)² - 1 + ln(1 + x)
N'(x) = 2(1+x) + 1 / (1+x) = 2 + 2x + 1 / (1+x) = ( 2(1+x) + 2x(1 + x) + 1 ) / (1 + x)
N'(x) = (2 + 2x + 2x + 2x² + 1) / (1 + x) = ( 2(x + 1)² + 1 ) / (x + 1)²
Or (x + 1)² > 0 sur ] -1 ; + oo [ et 2(x + 1)² + 1 > 0 aussi
donc N'(x) strictement positive ---> N strictement croissante
b) N(0) = 0 et N strictement croissante donc nécessairement,
N(x) ≥ 0 sur [0 ; +oo[ et N(x) ≤ 0 sur ]-1 ; 0]
Or f'(x) = N(x) / (1 + x)² (1+x)² > 0
donc f'(x) est du même signe que N(x)
f est croissante sur [0 ; +oo[ et décroissante sur ]-1 ; 0]
c) le résultat est cohérent
3) On cherche x tel que f(x) = x
x - ln(1+x) / (1+x) = x
- ln(1+x) / (1+x) = 0
ln(1+x) = 0 car (1 + x) ≠ 0 sur ] -1 ; +oo [
1+x = 1
x = 0
y = x = 0
Le point d'intersection est (0 ; 0)
