Réponse :
Bonjour, pour info "exercice" est un nom masculin donc "cet exercice" .
Explications étape par étape :
f(x)=4+16x+1/x sur I=]0;5]
1) f'(x)=16-1/x²=(16x²-1)/x²
2) f(x)=(4x-1)(4x+1)/x² application de l'identité remarquable a²-b²='a-b)(a+b)
comme x appartient à ]0; 5], x²>0 et 4x+1 >0 donc le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de 4x-1
f'(x)=0 pour x=1/4
3) Pour le tableau de variations de f(x) il nous faut les valeurs de f(x) aux bornes de I
si x tend vers 0+, f(x) tend vers 4+0+oo=+oo
si x=5, f(x)=4+80-1/5=84,2
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 1/4 5
f'(x) - 0 +
f(x) II+oo décroît f(1/4) croît f(5)
4) La fonction admet un extremum sur ]0; 5] qui est un minimum f(1/4)
f(1/4)=4+16*1/4+1/(1/4)=4+4+4=12
