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Pour étudier les variations de la fonction \( f(x) = \frac{x + 2}{x - 1} \) sur les intervalles \(]-\infty ;1[\) et \(]1 ; +\infty[\), nous allons suivre les étapes suivantes :
1. Trouver le domaine de définition de la fonction, c'est-à-dire les valeurs de \( x \) pour lesquelles le dénominateur \( x - 1 \) n'est pas égal à zéro.
2. Identifier les points critiques de la fonction, c'est-à-dire les valeurs de \( x \) pour lesquelles la dérivée de la fonction est égale à zéro ou n'existe pas.
3. Utiliser le test de la dérivée pour déterminer les variations de la fonction sur chaque intervalle.
Commençons par la première étape :
1. Domaine de définition :
Le dénominateur \( x - 1 \) ne peut pas être égal à zéro, donc \( x \neq 1 \).
Le domaine de définition de la fonction est donc \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \), c'est-à-dire tous les réels sauf 1.
Passons à la deuxième étape :
2. Points critiques :
Pour trouver les points critiques, nous devons d'abord calculer la dérivée de la fonction \( f(x) \) par rapport à \( x \).
\( f'(x) = \frac{(x - 1) - (x + 2)}{(x - 1)^2} \)
Simplifions cette expression :
\( f'(x) = \frac{x - 1 - x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2} \)
La dérivée est égale à zéro lorsque le numérateur est égal à zéro, c'est-à-dire lorsque \( -3 = 0 \). Cela n'arrive jamais, donc il n'y a pas de points critiques.
Passons à la troisième étape :
3. Variations de la fonction :
Comme il n'y a pas de points critiques, nous pouvons utiliser le test de la dérivée pour déterminer les variations de la fonction.
La dérivée \( f'(x) \) est toujours négative sur l'intervalle \(]-\infty ;1[\) car le numérateur est négatif et le dénominateur est toujours positif sur cet intervalle.
De même, la dérivée \( f'(x) \) est toujours positive sur l'intervalle \(]1 ; +\infty[\) car le numérateur est négatif et le dénominateur est toujours positif sur cet intervalle.
Par conséquent, la fonction \( f(x) \) est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty ;1[\) et croissante sur l'intervalle \(]1 ; +\infty[\).
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