Bonjour
1) Ta a pour équation : y = f'(a)(x - a) + f(a)
f est dérivable sur R comme quotient de fonctions dérivables sur R et le dénominateur ne s'annule pas
Pour tout réel x, f(x) = u/v avec u = 2 et v = x² + 1
u' = 0 et v' = 2x
f'(x) = (u'v - uv') / v² = ( 0(x²+1) - 2(2x) ) / (x² + 1)²
f'(x) = - 4x / (x² + 1)²
f'(a) = - 4a / (a² + 1)² et f(a) = 2 / (a² + 1)
Ta : y = [ -4a/(a²+1)² ] (x - a) + 2/(a² + 1)
y = - 4a x / (a² + 1)² + 4a² / (a² + 1)² + 2(a² + 1) / (a² + 1)²
y = -4ax/(a²+1)² + (4a² + 2a² + 2) / (a² + 1)²
y = - 4a x / (a² + 1)² + (6a² + 2) / (a² + 1)²
2) M(0 ; 2) € Ta
2 = - 4a × 0 / (a² + 1)² + (6a² + 2) / (a² + 1)²
2 = (6a² + 2) / (a² + 1)²
2(a² + 1)² = 6a² + 2 on divise par 2
(a² + 1)² = 3a² + 1
a⁴ + 2a² + 1 = 3a² + 1
a⁴ + 2a² + 1 - 3a² - 1 = 0
a⁴ - a² = 0 on multiplie par (-1)
a² - a⁴ = 0
3) On résout a² - a⁴ = 0
a² ( 1 - a²) = 0
a²(1 - a)(1 + a) = 0
a² = 0 ou 1 - a = 0 ou 1 + a = 0
a = 0 ou a = 1 ou a = -1
Les tangentes à Cf qui passent par M(0 ; 2) ont pour équation :
T0 : y = - 4(0) x / (0² + 1)² + (6(0)² + 2) / (0² + 1)² = 2
T1 : y = - 4(1) x / (1² + 1)² + (6(1)² + 2) / (1² + 1)² = - x + 2
T(-1) : y = - 4(-1)x / ((-1)² + 1)² + (6(-1)² + 2) / ((-1)² + 1)² = x + 2
