Commençons par résoudre les différentes questions :
1.
a) Pour calculer la longueur HB, nous utiliserons la loi des cosinus dans le triangle ABC :
\[HB^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \times AC \times AB \times \cos(\angle BAC)\]
En remplaçant par les valeurs données, nous obtenons :
\[HB^2 = AC^2 + (10,8)^2 - 2 \times AC \times 10,8 \times \cos(60°)\]
Nous pouvons ensuite utiliser la loi des sinus pour trouver AC :
\[\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}\]
En isolant AC, nous avons :
\[AC = \frac{BC \times \sin(\angle BAC)}{\sin(\angle ABC)}\]
En remplaçant par les valeurs données, nous trouvons :
\[AC = \frac{9 \times \sin(60°)}{\sin(120°)}\]
b) Pour calculer la longueur CH, nous utiliserons le théorème de Pythagore dans le triangle CHB une fois HB trouvé.
2.
a) Pour calculer l'aire du triangle ABC, nous utiliserons la formule de la trigonométrie : \[\text{Aire} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(\angle BAC)\]
b) Pour trouver la mesure de l'angle CAH, nous utiliserons les propriétés des angles dans un triangle.
3. Pour calculer la longueur AC, nous avons déjà trouvé la formule dans la question 1.a.
4. Pour déterminer si les droites (AC) et (HK) sont parallèles, nous devons étudier les rapports de longueurs et les angles formés par ces droites.
5. Pour savoir si le triangle ABC est rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour vérifier si \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), ce qui indiquerait que le triangle est rectangle en A.
