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Réponse :
Exercice 1:
1. Arbre pondéré:
Voici l'arbre pondéré représentant la situation :
```
R V
/ \ / \
R V R V
/ \ / \ / \ / \
R V R V R V R V
```
où R représente la probabilité d'avoir un feu rouge (0.6) et V représente la probabilité d'avoir un feu vert (0.4).
2. Loi binomiale:
(a) La variable aléatoire X qui compte le nombre de feux verts suit une loi binomiale car chaque feu est indépendant et il y a seulement deux résultats possibles à chaque feu (vert ou rouge). Les paramètres de la loi binomiale sont :
- n : le nombre de feux (ici 3).
- p : la probabilité de succès (ici la probabilité qu'un feu soit vert, donc 0.4).
(b)
i. \( P(X = 0) = \binom{3}{0} \times (0.4)^0 \times (0.6)^3 = 0.6^3 = 0.216 \)
ii. \( P(X = 1) = \binom{3}{1} \times (0.4)^1 \times (0.6)^2 = 3 \times 0.4 \times 0.36 = 0.432 \)
iii. \( P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.216 + 0.432 = 0.648 \)
Exercice 2:
1. Triangle de Pascal:
Voici le triangle de Pascal jusqu'à la ligne \( n = 6 \) :
```
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
```
2. Calcul de (9):
Pour trouver le coefficient binomial \(\binom{6}{3}\), nous regardons le nombre dans la sixième ligne et la quatrième position, qui est 20. Donc \(\binom{6}{3} = 20\).
**Exercice 3:**
1. Loi de probabilité adaptée:
La loi de probabilité adaptée à cette situation est la loi binomiale. Cela est justifié car chaque peluche peut être soit bleue, soit rose, et les peluches sont indépendantes les unes des autres.
2. Paramètres de la loi binomiale:
Les paramètres de cette loi sont :
- \( n = 6 \), le nombre d'essais (ou de peluches produites).
- \( p = 0.2 \), la probabilité de succès (ou la probabilité qu'une peluche soit rose).
3. Probabilité d'obtenir exactement 2 peluches roses:
\( P(X = 2) = \binom{6}{2} \times (0.2)^2 \times (0.8)^4 \)
\( = \frac{6!}{2!(6-2)!} \times 0.04 \times 0.4096 \)
\( = 15 \times 0.04 \times 0.4096 \)
\( = 0.36864 \)
4. Probabilité d'obtenir au moins 3 peluches roses:
\( P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) \)
\( = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) \)
\( = 1 - (0.262144 + 0.393216 + 0.36864) \)
\( = 1 - 1.024 \)
\( = 0.976 \)
J'espère que j'ai pu t'aider; n'hésite pas à me laisser une note ou un commentaire à ma réponse pour que je puisse m'améliore; bonne journée.
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