Pour montrer que les points A, D et E sont alignés, nous devons démontrer que le segment DE est une droite passant par les points A, D et E.
Tout d'abord, notons que BD = BC implique que le triangle BCD est isocèle en C, donc les angles CBD et CDB sont égaux.
Ensuite, AE = AC + 2AB implique que le point E est situé sur la prolongation du côté AC au-delà du point C. Ainsi, l'angle CAB est le même que l'angle EAC.
Maintenant, nous devons examiner les angles dans le triangle ABC :
- Dans le triangle ABC, l'angle A est partagé par les côtés AB et AC.
- Dans le triangle ACD, l'angle A est partagé par les côtés AD et AC.
- Dans le triangle AEB, l'angle A est partagé par les côtés AE et AB.
Puisque les angles partagés par les côtés correspondants sont égaux dans les triangles ACD et AEB, selon la propriété d'une paire de triangles semblables, les triangles ACD et AEB sont semblables.
En conséquence, les côtés opposés aux angles correspondants dans ces triangles sont proportionnels. Ainsi, nous avons :
AC/AD = AE/AB
En utilisant la relation AE = AC + 2AB, nous obtenons :
AC/AD = (AC + 2AB)/AB
Maintenant, si nous écrivons cette équation sous la forme AC/AD = (AC/AB) + 2, nous constatons que AC/AD est égal à une constante plus 2.
Cela signifie que la longueur du segment AC est toujours deux fois la longueur du segment AD, quel que soit le point A choisi. Donc, les points A, D et E sont alignés.
