Réponse:
A/ Pour un triangle rectangle ABC, nous avons deux côtés (les côtés de l'angle droit) qui sont perpendiculaires, appelons-les AB et BC. Construire des demi-disques sur ces côtés signifie que les diamètres des demi-disques sont égaux à ces côtés.
L'aire d'un demi-disque est donnée par πr²/2, où r est le rayon du demi-disque. Donc, si AB est l'hypoténuse, les rayons des demi-disques construits sur AB, AC et BC seront respectivement AB/2, AC/2 et BC/2.
Si nous considérons l'aire du demi-disque construit sur AB, cela donne π(AB/2)²/2 = π(AB²)/8.
De même, l'aire des demi-disques construits sur AC et BC est π(AC²)/8 et π(BC²)/8 respectivement.
Donc, pour répondre à la question, l'aire du demi-disque construit sur l'hypoténuse (AB) est π(AB²)/8, tandis que la somme des aires des deux autres demi-disques est π(AC²)/8 + π(BC²)/8 = π(AC² + BC²)/8.
En général, l'aire du demi-disque construit sur l'hypoténuse n'est pas égale à la somme des aires des deux autres demi-disques.
B/ Pour des triangles équilatéraux, la situation est différente car tous les côtés sont égaux. Construire des demi-disques sur les côtés signifie que les diamètres des demi-disques sont égaux à ces côtés.
Dans un triangle équilatéral, tous les côtés ont la même longueur, donc si nous appelons ce côté "a", alors les rayons des demi-disques construits sur les trois côtés seront tous égaux à a/2.
L'aire d'un demi-disque est πr²/2, donc l'aire de chaque demi-disque sera π(a/2)²/2 = πa²/8.
Ainsi, dans le cas d'un triangle équilatéral, l'aire du demi-disque construit sur n'importe quel côté sera égale à πa²/8, et puisque tous les côtés ont la même longueur, la somme des aires des trois demi-disques sera 3(πa²/8) = πa²/8 + πa²/8 + πa²/8 = 3πa²/8.
Donc, dans le cas d'un triangle équilatéral, l'aire du demi-disque construit sur n'importe quel côté sera effectivement égale à la somme des aires des deux autres demi-disques.
