Exercice n° 15:
TP-Le flocon de Von Koch
Le flocon de Von Koch est une des premières courbes fractales (bien avant l'invention du terme fractale) à
avoir été décrite en 1904 par le mathématicien suédois Niel Fabian Helge Von Koch (1870-1924). Sa
construction repose sur un principe simple : la figure de départ est un triangle équilatéral de côté 1.
Pour chacun de ses côtés on effectue la construction suivante :
• Diviser le segment en trois parties égales.
Construire un triangle équilatéral sur le segment du milieu, à l'extérieur de la figure.
On répète alors la construction pour obtenir le flocon d'ordre 2, puis le flocon d'ordre 3, etc...
On note pour chaque entier n:
, la longueur du côté d'un flocon d'ordre n.
• , le nombre de côtés du flocon d'ordre n.
P, le périmètre du flocon d'ordre n.
A, l'aire du flocon d'ordre n.
Partie A: Formules de récurrence
1) Prouver que l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est:
a^2xracine de 3 // 4
2) Calculer les valeurs initiales Lo, Co, Po et Mo
3) Déterminer les relations de récurrence permettant de passer de L, à Let de C, à C
(Vn€N).
4) Exprimer P, en fonction de C, et de L
5) Trouver une relation de récurrence permettant de calculer en fonction de ., C. et L.
Flocon d'ordre 0
Flocon d'ordre 1
Flocon d'ordre 2