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résolu

12 Devoir 1 – MA50-15
Partie B
Le nombre de personnes malades en fonction du temps
t, exprimé en jours, peut être modélisé par la
fonction
f, définie et dérivable sur [0 ; 30], d’expression :
f t t t( ) .= − +3 2
15
Calculer
f ( )5 .
Calculer
f t'( ) où
f ' désigne la fonction dérivée de
f.
a) Calculer le nombre dérivé de
f en 10. Interpréter graphiquement ce résultat.
b) Sur le graphique de la feuille annexe, tracer la tangente à au point d’abscisse 10.
a) Calculer
f '( ).5
b) Déterminer une équation de
T, tangente à au point d’abscisse 5, puis tracer
T sur le graphique.
a) Déterminer graphiquement la position de par rapport à sa tangente
T sur l’intervalle [0 ; 15].
b) Comparer alors la vitesse de progression de la maladie avant le cinquième jour et après le cin-
quième jour.

Répondre :

a) \( f'(10) = -24 \). Graphiquement, cela indique que la pente de la tangente à la courbe de \( f \) à \( t = 10 \) est -24.

b) L'équation de la tangente \( T \) à \( f \) au point d'abscisse 5 est \( T(t) = -12t + 78 \). Graphiquement, tracez cette tangente sur le graphique de \( f \).

a) Graphiquement, la position de la courbe par rapport à sa tangente \( T \) montre l'évolution de la maladie par rapport à la prédiction linéaire de la tangente sur l'intervalle [0 ; 15].

b) La comparaison de la vitesse de progression de la maladie avant et après le cinquième jour se fait en évaluant les pentes des tangentes à ces moments. Plus précisément, en comparant les valeurs absolues des pentes, vous pouvez déterminer la vitesse relative de la maladie avant et après le cinquième jour.
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