Pour répondre à ces questions, nous allons utiliser les propriétés géométriques du rectangle ABCD.
1) Pour déterminer si les droites (AC) et (DE) sont perpendiculaires, nous pouvons vérifier si les pentes de ces droites sont inverses et opposées.
La droite (AC) passe par les points A(0, 0) et C(a√2, a). La pente de (AC) est donnée par :
m(AC) = (a - 0) / (a√2 - 0) = a / (a√2) = 1 / √2
La droite (DE) passe par les points D(0, a) et E(a√2 / 2, a / 2). La pente de (DE) est donnée par :
m(DE) = (a / 2 - a) / (a√2 / 2 - 0) = -a / (a√2 / 2) = -2 / √2 = -√2
Comme la pente de (AC) est différente et inverse de la pente de (DE), les droites (AC) et (DE) ne sont pas perpendiculaires.
2) Pour calculer le produit scalaire AC.DE, nous allons utiliser les coordonnées des vecteurs AC et DE dans le repère (A; AI, AD), où I est le point de [AB] tel que AI = a.
Le vecteur AC peut être calculé en soustrayant les coordonnées de A de celles de C :
AC = (a√2 - 0, a - 0) = (a√2, a)
Le vecteur DE peut être calculé en soustrayant les coordonnées de D de celles de E :
DE = (a√2 / 2 - 0, a / 2 - a) = (a√2 / 2, -a / 2)
Maintenant, nous pouvons calculer le produit scalaire AC.DE :
AC.DE = (a√2)(a√2 / 2) + (a)(-a / 2) = a² + (-a² / 2) = a² - a² / 2 = a² / 2
Le produit scalaire AC.DE est égal à a² / 2.
En conclusion, nous avons trouvé que les droites (AC) et (DE) ne sont pas perpendiculaires, et le produit scalaire AC.DE dans le repère (A; AI, AD) est égal à a² / 2.
