Pour montrer que le triangle ABC est rectangle en A, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Si le carré de la longueur de la plus grande côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Dans ce cas, nous avons :
AB² + AC² = BC²
(2cm)² + (2√3cm)² = (2cm)²
4cm² + 12cm² = 4cm²
16cm² = 16cm²
Puisque AB² + AC² = BC², le triangle ABC est un triangle rectangle en A.
Maintenant, pour calculer les trigonométriques de l'angle ABC, nous pouvons utiliser les relations trigonométriques suivantes :
- sin(ABC) = côté opposé / hypothénuse
- cos(ABC) = côté adjacent / hypothénuse
- tan(ABC) = côté opposé / côté adjacent
Dans notre cas, ABC est l'angle droit en A, donc sin(ABC) = 1, cos(ABC) = 0, et tan(ABC) est indéfini.
Ensuite, pour trouver la mesure de l'angle ABC, nous pouvons utiliser l'une des identités trigonométriques pour les angles particuliers. Puisque cos(ABC) = 0, cela signifie que ABC est un angle de 90 degrés.
Maintenant, si cos(a) = √15/4, nous pouvons utiliser l'identité trigonométrique sin²(a) + cos²(a) = 1 pour trouver sin(a).
Nous avons : sin²(a) = 1 - cos²(a) = 1 - (√15/4)² = 1 - 15/16 = 1/16
Donc, sin(a) = ±√(1/16) = ±1/4
Pour l'expression donnée : s (cos87°)² + 4(cos60°)² + (sin10°/cos10°) (tan80°) + (cos3°)² :
- s (cos87°)² = 1² = 1
- 4(cos60°)² = 4(1/2)² = 4(1/4) = 1
- (sin10°/cos10°) (tan80°) = (sin10°/cos10°) * tan(90° - 10°) = (sin10°/cos10°) * tan(80°)
- (cos3°)² = (cos3°)²
Maintenant, nous pouvons remplacer les valeurs et calculer l'expression.
