1)
g(x) = (1/2)x² - ln(x)
g'(x) = x - 1/x = x²/x - 1/x = (x² - 1)/x = (x + 1)(x - 1)/x
2)
Sur l'intervalle ]0 ; +∞[ , g'(x) est du signe du terme (x - 1) car les autres termes sont positifs sur cet intervalle.
g'(x) ≤ 0 sur l'intervalle ]0 ; 1] et g'(x) ≥ 0 sur l'intervalle [1 ; +∞[
Donc la fonction g est décroissante sur l'intervalle ]0 ; 1] et croissante sur l'intervalle [1 ; +∞[
Donc la fonction g admet un minimum en x = 1
g(1) = (1/2) × 1² + ln(1) = 1/2 + 0 = 1/2
