1) Pour exprimer \( f'(x) \), la dérivée de \( f(x) \), en fonction de \( x, a, b \), et \( c \), nous utilisons les règles de dérivation :
\[ f'(x) = 2ax + b \]
D'après la contrainte 1, la tangente horizontale au point d'abscisse -3 signifie que \( f'(-3) = 0 \).
2) D'après la contrainte 2, la tangente au point d'abscisse -1 est \( y = 4x + 5 \). Cela implique que \( f'(-1) = 4 \) et \( f(-1) = 1 \).
4) En substituant les valeurs de x dans \( f'(x) \), on obtient le système d'équations :
\[ -6a + b = 0 \]
\[ -2a + b = 4 \]
\[ a - b + c = 1 \]
5) Résolvons le système d'équations. Premièrement, trouvons \( a \) et \( b \) à partir des deux premières équations. En soustrayant la deuxième équation de la première, on obtient \( -4a = -4 \), donc \( a = 1 \). En substituant \( a \) dans la première équation, on trouve \( b = 6 \).
Maintenant, en utilisant \( a = 1 \) et \( b = 6 \), substituons ces valeurs dans la troisième équation pour trouver \( c \). On a \( 1 - 6 + c = 1 \), donc \( c = 6 \).
Ainsi, les valeurs de \( a, b \), et \( c \) sont respectivement \( 1, 6, \) et \( 6 \). En conséquence, l'expression de \( f(x) \) est \( f(x) = x^2 + 6x + 6 \).
