Réponse:
Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes suivantes :
1. Trouver les coordonnées du point I qui est le milieu du segment BC :
Pour trouver les coordonnées du point I, nous allons utiliser la formule du milieu :
Ix = (Bx + Cx) / 2
Iy = (By + Cy) / 2
Dans notre cas, les coordonnées de B sont (4, 1 + 2√3) et les coordonnées de C sont (4, 1).
Calculons Ix :
Ix = (4 + 4) / 2 = 8 / 2 = 4
Calculons Iy :
Iy = (1 + 2√3 + 1) / 2 = (2 + 2√3) / 2 = 1 + √3
Donc, les coordonnées du point I sont (4, 1 + √3).
2. Vérifier que AI.AC = AB.AC :
Pour cela, nous allons comparer les produits scalaires AI.AC et AB.AC.
Les vecteurs AI et AC peuvent être obtenus en soustrayant les coordonnées des points correspondants :
Vecteur AI = (Ix - Ax, Iy - Ay)
= (4 - 5, 1 + √3 - 1)
= (-1, √3)
Vecteur AC = (Cx - Ax, Cy - Ay)
= (4 - 5, 1 - 1)
= (-1, 0)
Calculons les produits scalaires :
AI.AC = (-1)(-1) + (√3)(0)
= 1 + 0
= 1
AB.AC = (5 - 4)(-1) + (1 + 2√3 - 1)(0)
= -1 + 0
= -1
Comme AI.AC = 1 et AB.AC = -1, nous pouvons conclure que AI.AC ≠ AB.AC et donc la première équation n'est pas vérifiée.
3. Calculer cos(AT.AC) :
Pour calculer cos(AT.AC), nous allons utiliser la formule du produit scalaire :
AT.AC = |AT| * |AC| * cos(AT, AC)
Mais dans ce cas, nous n'avons pas les coordonnées du point T, nous ne pouvons donc pas calculer cette valeur.
En résumé, en vérifiant la première équation, nous avons constaté qu'elle n'est pas vérifiée. Ensuite, nous avons constaté que nous ne disposons pas des données nécessaires pour calculer cos(AT.AC).
