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Explications étape par étape:
1) Pour construire l'intersection i du plan (A,B,C) avec le plan alpha, nous devons trouver les équations du plan (A,B,C) et du plan alpha, puis trouver leur intersection. Pour cela, nous pouvons utiliser la méthode des vecteurs normaux.
- Pour le plan (A,B,C), nous prenons deux vecteurs dirigés par les points A, B et A, C respectivement : AB = (40, -40, -20) et AC = (30, -55, -1225). Nous calculons ensuite leur produit vectoriel ABxAC pour obtenir le vecteur normal n1 du plan (A,B,C) : n1 = ABxAC = (4950, -2100, -2250).
- Pour le plan alpha, nous connaissons un point P(10, 90) qui appartient au plan, et nous savons que plan alpha forme un angle de 45° avec le plan H. On peut trouver le vecteur directeur de alpha en prenant l'angle entre le vecteur normal du plan H et un autre vecteur directeur de alpha. Pour le plan H, le vecteur normal est n2 = (0, 0, 1). Ainsi, le vecteur directeur de alpha peut être obtenu en utilisant la formule cos(angle) = (v1.v2) / (|v1|.|v2|), où v1 est le vecteur à trouver, et v2 est n2. En résolvant cette équation avec un angle de 45°, on obtient v1 = (-1, -1, 0).
Maintenant, avec les équations du plan (A,B,C) : n1.x + d1 = 0 et du plan alpha : v1.x + d2 = 0, nous pouvons trouver les valeurs de d1 et d2 en utilisant les coordonnées de points A ou P.
- Pour le plan (A,B,C), nous utilisons les coordonnées de A (70, 165) pour obtenir d1 : d1 = -n1.A = -4950*70 - (-2100)*165 - (-2250)*140 = 566250.
- Pour le plan alpha, nous utilisons les coordonnées de P (10, 90) pour obtenir d2 : d2 = -v1.P = (-1)*10 + (-1)*90 + 0 = -100.
Maintenant nous avons les équations des deux plans et leurs valeurs pour d1 et d2. Nous pouvons les écrire comme suit :
- Plan (A,B,C) : 4950x - 2100y - 2250z + 566250 = 0
- Plan alpha : -x - y + 100 = 0
Pour trouver l'intersection entre ces deux plans, nous devons résoudre ce système d'équations. La solution de ce système est la valeur des points de l'intersection i(x,y,z) du plan (A,B,C) avec le plan alpha.
2) Maintenant, pour tracer la droite d qui est parallèle à i et passe par le point A, nous utilisons les coordonnées du point A (70, 165) et les coordonnées de i que nous avons trouvées dans l'étape précédente. La formule de l'équation d'une droite est y = mx + c, où m est la pente et c est l'ordonnée à l'origine.
La pente m est donnée par (y2 - y1) / (x2 - x1), où (x1, y1) sont les coordonnées de A et (x2, y2) sont les coordonnées de i.
En utilisant les coordonnées de A (70, 165) et les coordonnées de i, nous pouvons calculer la pente m et l'ordonnée à l'origine c.
Ensuite, nous pouvons utiliser ces valeurs de m et c pour tracer la droite d avec A comme point de départ.
J'espère que cela vous aide ! N'hésitez pas à me demander si vous avez d'autres questions.
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