Une entreprise fabrique une boisson conditionnée en bouteille d’un litre. Le coût total de production, exprimé en euro, est donné par Ctx( )= 4x3− 20x2+ 80x + 100où x représente le volume exprimé en centaine de litres, x variant dans l’intervalle 0 ; 5[ ].Le graphique ci-contre affiche la représentation graphique de la fonction Ct dans un repère orthogonal.Le point A est le point de la courbe d’abscisse 5 et est la tangente à au point A.Pout tout réel a de l’intervalle 0 ; 5[ ], on admet que ′Cta( )= 12a2− 40a + 80 et on note Cmx( ) le coût mar-ginal pour une production de x centaines de litres. On fera l’approximation Cmx( )≃Ct′x( ).1. Graphiquement, donner une estimation du coût mar-ginal Cm5( ) pour une production de 500 litres.2. Vérifier cette valeur par un calcul.3. Pour quelle production le coût marginal est-il minimal ?

Question

Mathématiques

résolu

Une entreprise fabrique une boisson conditionnée en bouteille d’un litre. Le coût total de production, exprimé en euro, est donné par Ctx( )= 4x3− 20x2+ 80x + 100où x représente le volume exprimé en centaine de litres, x variant dans l’intervalle 0 ; 5[ ].Le graphique ci-contre affiche la représentation graphique de la fonction Ct dans un repère orthogonal.Le point A est le point de la courbe d’abscisse 5 et est la tangente à au point A.Pout tout réel a de l’intervalle 0 ; 5[ ], on admet que ′Cta( )= 12a2− 40a + 80 et on note Cmx( ) le coût mar-ginal pour une production de x centaines de litres. On fera l’approximation Cmx( )≃Ct′x( ).1. Graphiquement, donner une estimation du coût mar-ginal Cm5( ) pour une production de 500 litres.2. Vérifier cette valeur par un calcul.3. Pour quelle production le coût marginal est-il minimal ?

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1. Graphiquement, pour estimer le coût marginal \(Cm5( )\) pour une production de 500 litres (\(x = 5\)), observez la pente de la tangente au point A sur la courbe. La pente de la tangente au point A donne une approximation du coût marginal à ce niveau de production.

2. Pour vérifier cette valeur par un calcul, utilisez la dérivée première de la fonction de coût total \(Ct\) que vous avez fournie. La dérivée première, \(Ct'(x)\), est donnée par \(12x^2 - 40x + 80\). Évaluez \(Ct'(5)\) pour obtenir le coût marginal à \(x = 5\).

\[Ct'(5) = 12(5)^2 - 40(5) + 80\]

3. Pour trouver la production pour laquelle le coût marginal est minimal, trouvez le \(x\) pour lequel \(Ct'(x) = 0\). Résolvez l'équation \(12x^2 - 40x + 80 = 0\) pour \(x\). Les solutions possibles sont les points critiques où le coût marginal atteint un minimum.