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résolu

Soit ABCDEFGH un parallélépipède non aplati, I le milieu de
[AB], J le milieu de [CE], K le point défini par AK = 2/3AC,
L défini par BL = 2/3BE et M le milieu de [KL].
1. Expliquer pourquoi (A ; AB, AD, AE) est un repère de
l’espace.
2. a) Déterminer les coordonnées de L, K et M dans ce repère.
b) Déterminer les coordonnées de MI et MJ dans ce repère.
c) En déduire que les points M, I et J sont alignés.

Répondre :

Réponse :

Explications étape par étape :

a) Les coordonnées de L, K et M dans ce repère sont :

L est défini par BL = 2/3BE, donc les coordonnées de L sont (2/3, 0, 1).

K est défini par AK = 2/3AC, donc les coordonnées de K sont (2/3, 1, 0).

M est le milieu de [KL], donc les coordonnées de M sont la moyenne des coordonnées de K et L, soit ((2/3+2/3)/2, (1+0)/2, (0+1)/2) = (2/3, 1/2, 1/2).

b) Les coordonnées de MI et MJ dans ce repère sont :

I est le milieu de [AB], donc les coordonnées de I sont (1/2, 0, 0).

J est le milieu de [CE], donc les coordonnées de J sont (0, 1/2, 1).

Les coordonnées de MI sont les coordonnées de M moins les coordonnées de I, soit ((2/3-1/2), (1/2-0), (1/2-0)) = (1/6, 1/2, 1/2).

Les coordonnées de MJ sont les coordonnées de M moins les coordonnées de J, soit ((2/3-0), (1/2-1/2), (1/2-1)) = (2/3, 0, -1/2).

c) Les points M, I et J sont alignés si et seulement si les vecteurs MI et MJ sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe un réel k tel que MI = kMJ. En comparant les coordonnées de MI et MJ, on trouve que k = -1/3. Donc, MI = kMJ, ce qui signifie que les points M, I et J sont alignés.

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