Pour résoudre ces problèmes, nous utilisons les propriétés du PGCD et du PPCM de deux nombres entiers a et b :
1. Le produit de a et b est égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM.
a * b = PGCD(a, b) * PPCM(a, b)
2. Si nous connaissons le produit de a et b et leur PGCD, nous pouvons trouver leur PPCM. Inversement, si nous connaissons le produit de a et b et leur PPCM, nous pouvons trouver leur PGCD.
Utilisons ces propriétés pour résoudre chaque cas :
1°) On cherche deux nombres a et b tels que PGCD(a, b) = 5 et a * b = 525. Puisque le PGCD est 5, les deux nombres sont des multiples de 5. Divisons 525 par 5 pour obtenir le produit des deux nombres sans le PGCD.
2°) On cherche deux nombres a et b tels que PPCM(a, b) = 48 et a * b = 384. Utilisons la propriété pour trouver le PGCD de a et b.
3°) On cherche deux nombres a et b tels que PGCD(a, b) = 6 et PPCM(a, b) = 84. Utilisons la propriété pour trouver les deux nombres.
Débutons par le premier cas : divisons 525 par le PGCD qui est 5.
Dans le premier cas, nous avons trois candidats pour les nombres recherchés à partir des facteurs de 105 : 15, 25 et 35. Cependant, seuls deux de ces nombres peuvent avoir un PGCD de 5 lorsqu'ils sont combinés. Nous devons trouver la paire correcte.
Nous savons que le produit de deux nombres est 525 et que leur PGCD est 5. Les facteurs premiers de 525, sans le PGCD, sont 3, 5 et 7. Ainsi, les deux nombres peuvent être formés par 5 multiplié par chacun de ces facteurs, donnant 15 et 35 comme le couple possible.
Vérifions cela :
- 15 et 35 ont un PGCD de 5.
- Leur produit est 15 * 35 = 525.
Donc, les deux nombres pensés sont 15 et 35.
Passons au deuxième cas maintenant : on cherche le PGCD lorsque le PPCM est 48 et le produit est 384. Calculons le PGCD.
Dans le deuxième cas, les deux nombres pensés sont 8 et 48. En effet :
- Leur PPCM est 48.
- Leur produit est 8 * 48 = 384.
Passons maintenant au troisième cas : on cherche deux nombres dont le PGCD est 6 et le PPCM est 84. Calculons ces nombres.
Dans le troisième cas, les deux nombres pensés sont 6 et 84. Voici pourquoi :
- Leur PGCD est 6.
- Leur PPCM est 84.
- Leur produit est 6 * 84 = 504, ce qui est le produit du PGCD et du PPCM, donc les nombres sont correctement identifiés.
