Salut, voici ma réponse:
Pour étudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de x, nous devons d'abord trouver les valeurs de x pour lesquelles f'(x) s'annule ou devient indéfini. Cela se produit lorsque le numérateur de f'(x) est égal à zéro ou lorsque le dénominateur de f'(x) est égal à zéro.
Pour faciliter les calculs, nous allons factoriser le numérateur et le dénominateur de f'(x):
Numérateur: -4x^2 + 6x + 4 = -2(2x^2 - 3x - 2) = -2(2x + 1)(x - 2)
Dénominateur: (x^2 + 1)^2
Maintenant, nous pouvons trouver les valeurs de x pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s'annulent:
Numérateur:
-2(2x + 1)(x - 2) = 0
Cela se produit lorsque (2x + 1) = 0 ou lorsque (x - 2) = 0
1er cas: 2x + 1 = 0
x = -1/2
2ème cas: x - 2 = 0
x = 2
Ainsi, f'(x) s'annule pour x = -1/2 et x = 2.
Maintenant, nous allons examiner les intervalles entre ces valeurs de x pour déterminer le signe de f'(x).
Intervalles:
(-∞, -1/2)
(-1/2, 2)
(2, ∞)
Pour examiner le signe de f'(x) sur chaque intervalle, nous allons prendre un test de valeur dans chaque intervalle:
Testons un x dans le premier intervalle, par exemple x = -1.
Substituons cette valeur dans f'(x): f'(-1) = (-4(-1)^2 + 6(-1) + 4)/((-1)^2 + 1)^2
f'(-1) = (4 - 6 + 4)/(1 + 1)^2
f'(-1) = 2/4
f'(-1) = 1/2
Nous voyons que f'(-1) est positif.
Testons un x dans le deuxième intervalle, par exemple x = 0.
Substituons cette valeur dans f'(x): f'(0) = (-4(0)^2 + 6(0) + 4)/(0^2 + 1)^2
f'(0) = (0 + 0 + 4)/(1)^2
f'(0) = 4/1
f'(0) = 4
Nous voyons que f'(0) est positif.
Testons un x dans le troisième intervalle, par exemple x = 3.
Substituons cette valeur dans f'(x): f'(3) = (-4(3)^2 + 6(3) + 4)/(3^2 + 1)^2
f'(3) = (-4(9) + 18 + 4)/(9 + 1)^2
f'(3) = (-36 + 18 + 4)/(10)^2
f'(3) = -14/100
f'(3) = -7/50
Nous voyons que f'(3) est négatif.
Maintenant, nous pouvons dresser le tableau de variations de f en utilisant les informations que nous avons trouvées:
x | (-∞, -1/2) | (-1/2, 2) | (2, ∞)
-----------------------------------------------
f'(x) | + | + | -
En utilisant les signes de f'(x), nous pouvons déterminer le comportement de f:
- F(x) est croissante sur l'intervalle (-∞, -1/2)
- F(x) est croissante sur l'intervalle (-1/2, 2)
- F(x) est décroissante sur l'intervalle (2, ∞)
Cela signifie que f(x) a un minimum relatif en x = -1/2 et un maximum relatif en x = 2.
