D'accord, reprenons chaque question avec plus de détails :
1. Soit \( f_5 \) la fréquence fondamentale de la quinte de \( f_0 \). La quinte a un rapport de fréquence de \( \frac{3}{2} \) par rapport à la note de base. Donc, \( f_5 = \frac{3}{2} \times f_0 \).
2. Soit \( f_{4-5} \) la fréquence fondamentale de la quarte de \( f_5 \). La quarte a un rapport de fréquence de \( \frac{4}{3} \) par rapport à la quinte. Donc, \( f_{4-5} = \frac{4}{3} \times f_5 \). Nous pouvons substituer \( f_5 \) par son expression en fonction de \( f_0 \) que nous avons trouvée dans la première question.
3. Maintenant, regardons l'expression que nous avons trouvée pour \( f_{4-5} \). En substituant \( f_5 \), nous obtenons \( f_{4-5} = \frac{4}{3} \times \left(\frac{3}{2} \times f_0\right) \). En simplifiant, nous trouvons que \( f_{4-5} = 2 \times f_0 \). Cela signifie que la fréquence de la quarte de la quinte de \( f_0 \) est exactement une octave au-dessus de \( f_0 \).
4. Pour montrer que l'enchaînement d'une tierce et d'une sixte majeure forme une octave, nous pouvons utiliser un raisonnement similaire. La tierce majeure a un rapport de fréquence de \( \frac{5}{4} \), et la sixte majeure a un rapport de fréquence de \( \frac{5}{3} \). En suivant les étapes similaires, vous pouvez montrer que la fréquence de la sixte majeure de la tierce majeure est une octave au-dessus de \( f_0 \).
J'espère que cela clarifie les choses ! Si vous avez encore des questions ou besoin d'aide supplémentaire, n'hésitez pas à demander.
