Bonjour, ça m'a pris du temps mais tiens :
1. L'intervalle de variation de \( p \) est \( 0 \leq p \leq 100 \) car le pourcentage de carbone 14 dans un échantillon varie de 0% à 100%.
2. Pour montrer que la fonction \( T \) est décroissante sur l'intervalle [0,100], calculons sa dérivée première par rapport à \( p \):
\[ \frac{dT}{dp} = -82641 \times \ln(10) \times 10^{-p/100} \]
La dérivée est toujours négative pour \( p > 0 \) car \( \ln(10) \) est positif et \( 10^{-p/100} \) est décroissant. Donc la fonction \( T \) est décroissante sur l'intervalle [0,100]. Ce résultat indique que plus le pourcentage de carbone 14 diminue, plus l'âge estimé de l'échantillon augmente.
3.
a. Pour estimer l'âge du squelette humain avec 0,5% de carbone 14, on utilise la formule \( T = 82641 \times \ln(10) \) avec \( p = 0,5 \). En remplaçant \( p \) dans la formule, nous obtenons:
\[ T = 82641 \times \ln(10) \times 10^{-0,5/100} \approx 82641 \times \ln(10) \times 0,995 \]
Environ \( 82641 \times 0,995 \approx 82249 \) ans. Donc, l'âge estimé du squelette humain est d'environ 82200 ans.
b. Vu l'âge estimé, ce squelette appartient probablement à l'espèce Homo sapiens.
4. Pour estimer le pourcentage de carbone 14 restant dans une momie de 2 500 ans, nous utilisons la formule de désintégration radioactive:
\[ T = 82641 \times \ln(10) \times 10^{-p/100} \]
Nous devons résoudre cette équation pour \( p \). En substituant \( T = 2500 \) ans dans l'équation, nous obtenons:
\[ 2500 = 82641 \times \ln(10) \times 10^{-p/100} \]
En isolant \( p \), nous trouvons \( p \approx 77.5 \) %. Donc, la momie contient environ 77.5% de carbone 14 après 2500 ans.
5.
a. Puisque le crâne A contient le double du pourcentage de carbone 14 par rapport au crâne B, cela signifie que le crâne A est plus récent que le crâne B. Donc, le crâne B est le plus ancien.
b. Pour estimer la différence d'âge entre les deux crânes, nous pourrions comparer leurs pourcentages de carbone 14 restant, mais cela ne donne pas une estimation précise de la différence d'âge car la désintégration radioactive n'est pas linéaire. Cependant, nous pouvons dire que le crâne B est plus ancien que le crâne A.
