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On enroule!
OBJECTIF Enrouler la droite numérique sur le cercle trigonomet
afin de définir la mesure en radians d'angles géométriques Co
.
Soit (d) la droite tangente à C en I. On assimile cette droite à la droite des nombres
réels où l est le point d'abscisse 0. Sur cette droite (d), on place un point M d'abs-
cisse x.
On considère sur le graphique ci-contre le
cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel
on définit un sens positif de parcours : le sens
inverse des aiguilles d'une montre, dit aussi
sens direct. Un tel cercle est appelé cercle
trigonométrique.
Quand on enroule sur le cercle € la demi-droite des nombres réels positifs dans le
sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre), et celle des nombres réels
négatifs dans le sens indirect (sens des aiguilles d'une montre), le point M « se
place » sur un unique point M' du cercle 6 obtenu de la façon suivante :
• Six est positif alors M' est l'extrémité du chemin d'origine I et de longueur x par-
couru sur le cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
• six est négatif alors M' est l'extrémité du chemin d'origine I et de longueur -x par-
couru sur le cercle € dans le sens des aiguilles d'une montre.
Le point M' est dit le point associé à x.
1. a. Déterminer la longueur du cercle 6.
b. En déduire la longueur des arcs UJ, IA' et IB'.
2. Sur la droite (d), on a placé les points C, D, E, F, G, H, P, Q, R et 5 d'abscisses respec-
J
TL
T π π
tives
,-n, 2n, -2n,
- et
2' 2'
4' 4'3
Déterminer les points de 6 associés aux nombres réels :
associé à
I
3
TC TC
T
2'
3. a. Construire le cercle € (unité graphique : 3 cm) puis les points P', Q', R' et S'
respectivement associés aux nombres réels
It
TL I T
et-
4' 4'3
3
b. Quelle remarque peut-on faire sur les points du cercle 6 associés à deux nombres
réels opposés ?
π, -, 2π et-2n.
4. Peut-on trouver d'autres nombres réels de la droite (d) associés au point P' du
cercle ? Si oui, en donner deux autres.
5. Construire sur le cercle les point T' et U' respectivement associés aux nombres
3r 2π
réels et --
4
3
6. Si 0x, on dit que l'angle géométrique IOM' a pour mesure x radians.
radians car J est le point du cercle
TL
Par exemple, ici, l'angle IOJ a pour mesure 2
a. Déterminer la mesure en radians des angles géométriques IOA', IOP', IOR' et IOT'.
b. Est-il facile de construire sur le cercle un angle géométrique de 1 radian? Pour-
quoi ?
M
A'*
✪
C
M
XO
HO)
2
(d) th
O
à
(