Réponse :
Explications étape par étape :
Pour représenter graphiquement l'aire hachurée, nous avons besoin de diviser le carré en deux triangles en traçant la diagonale AC, et de trouver l'aire de chaque triangle.
a) Exprime l'aire hachurée comme fonction f(x):
La longueur de chaque côté du carré est de 10 cm, donc la base de chaque triangle est également de 10 cm. Le point le plus bas de la base du triangle est le point C, qui se trouve sur un côté du carré.
La hauteur de chaque triangle correspond à la distance entre le point C et le point X sur le côté du carré opposé à la base. Comme le point X se déplace le long du côté du carré, la hauteur du triangle varie.
Nous pouvons exprimer la hauteur du triangle en fonction de x en utilisant le théorème de Pythagore: la distance entre le point C et le point X est égale à la racine carrée de la somme des carrés des longueurs des côtés DP et PX.
Puisque le côté du carré a une longueur de 10 cm, la longueur DP est également de 10 cm.
La longueur PX peut être exprimée en fonction de x en utilisant le théorème de Thalès: DP/PX = DR/CX. Nous connaissons les valeurs de DP (10 cm) et DR (4 cm), nous pouvons donc résoudre l'équation pour trouver CX en fonction de x.
Nous pouvons alors utiliser la longueur CX pour trouver la hauteur du triangle en utilisant le théorème de Pythagore.
L'aire de chaque triangle est ensuite donnée par la formule: aire_triangle = (base * hauteur) / 2
L'aire hachurée totale peut être exprimée comme la somme des aires des deux triangles: aire_hachurée = aire_triangle1 + aire_triangle2
b) Représente le graphique pour 0 < x < DR:
Sur le graphique, l'axe des x représente les valeurs de x allant de 0 à DR, et l'axe des y représente l'aire hachurée correspondante.
c) Pour quel x l'aire hachurée est maximale?
Pour trouver la valeur de x pour laquelle l'aire hachurée est maximale, nous devons déterminer quel est le point maximal sur le graphique. Cela peut être fait en calculant la dérivée de la fonction f(x) et en trouvant les valeurs de x pour lesquelles la dérivée s'annule.
d) Calcule l'aire lorsque x = 0:
Lorsque x = 0, les deux triangles se chevauchent complètement et l'aire hachurée est égale à l'aire totale du carré. Donc, l'aire hachurée est de 100 cm².
