Réponse:
Pour déterminer les valeurs de \(a\) et \(b\) pour lesquelles la droite \((AB)\) est tangente à la fois à \(C_f\) et \(C_g\), il faut que les pentes des tangentes à \(C_f\) et \(C_g\) en \(A\) et \(B\) soient égales.
1. La pente de la tangente à \(C_f\) en \(A\) est donnée par la dérivée de \(f(x) = x^2\) évaluée en \(a\), soit \(f'(a) = 2a\).
2. La pente de la tangente à \(C_g\) en \(B\) est donnée par la dérivée de \(g(x) = \frac{1}{x}\) évaluée en \(b\), soit \(g'(b) = -\frac{1}{b^2}\).
Ainsi, pour que la droite \((AB)\) soit tangente à la fois à \(C_f\) et \(C_g\), il faut que \(2a = -\frac{1}{b^2}\).
En utilisant l'information donnée dans la question \(x^3 = m\) admet une unique solution \(x = \sqrt[3]{m}\), on peut dire que \(a = \sqrt[3]{m}\).
Substituant \(a = \sqrt[3]{m}\) dans l'équation \(2a = -\frac{1}{b^2}\), on obtient \(2\sqrt[3]{m} = -\frac{1}{b^2}\). En résolvant cette équation pour \(b\), on peut déterminer les valeurs de \(b\) correspondant aux valeurs de \(a\) qui satisfont la condition.
