Répondre :
Pour démontrer l'équation \( H_{\text{max}} = \frac{{v_0^2 \sin^2 \theta}}{{2g}} \), commençons par examiner le mouvement vertical d'un projectile lancé avec une vitesse initiale \( v_0 \) à un angle \( \theta \) par rapport à l'horizontale. Les équations de ce mouvement sont \( y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \sin \theta \cdot t + y_0 \) pour la hauteur \( y \) en fonction du temps \( t \), et \( t = \frac{v_0 \sin \theta}{g} \) pour le temps de vol total \( t_m \).
1. **Équation du mouvement vertical :**
- En substituant \( t_m \) dans \( y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \sin \theta \cdot t + y_0 \), on obtient :
\[ y = -\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0 \sin \theta}{g}\right)^2 + v_0 \sin \theta \cdot \frac{v_0 \sin \theta}{g} + y_0 \]
2. **Simplification :**
- En simplifiant, on obtient \( y = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} \).
Ainsi, \( H_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} \).
En ce qui concerne les équations \( t = \frac{v_0 \sin \theta}{g} \) et \( y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \sin \theta \cdot t \), elles sont des résultats clés du mouvement vertical d'un projectile. La première équation représente le temps de vol total, et la seconde représente la hauteur en fonction du temps.
1. **Équation du mouvement vertical :**
- En substituant \( t_m \) dans \( y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \sin \theta \cdot t + y_0 \), on obtient :
\[ y = -\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0 \sin \theta}{g}\right)^2 + v_0 \sin \theta \cdot \frac{v_0 \sin \theta}{g} + y_0 \]
2. **Simplification :**
- En simplifiant, on obtient \( y = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} \).
Ainsi, \( H_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} \).
En ce qui concerne les équations \( t = \frac{v_0 \sin \theta}{g} \) et \( y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \sin \theta \cdot t \), elles sont des résultats clés du mouvement vertical d'un projectile. La première équation représente le temps de vol total, et la seconde représente la hauteur en fonction du temps.
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