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Réponse:
Pour déterminer les variations de la fonction \( f(x) = x(x - 2)^2 \), nous devons examiner le signe de sa dérivée première, \( f'(x) \).
Calculons la dérivée de \( f(x) \):
\[ f'(x) = (x - 2)^2 + x \cdot 2(x - 2) \]
Simplifions \( f'(x) \) :
\[ f'(x) = (x - 2)^2 + 2x(x - 2) \]
\[ f'(x) = (x - 2)[(x - 2) + 2x] \]
\[ f'(x) = (x - 2)(3x - 4) \]
Maintenant, examinons les signes de \( f'(x) \) en utilisant le test des signes pour \( x - 2 \) et \( 3x - 4 \).
1. Lorsque \( x < 2 \), \( f'(x) \) est négatif.
2. Entre \( x = 2 \) et \( x = \frac{4}{3} \), \( f'(x) \) est positif.
3. Lorsque \( x > \frac{4}{3} \), \( f'(x) \) est à nouveau négatif.
Ainsi, la fonction \( f(x) \) est croissante sur \( (-\infty, 2) \cup \left(2, \frac{4}{3}\right) \) et décroissante sur \( \left(\frac{4}{3}, \infty\right) \).
Pour trouver le temps écoulé avant la présence du maximum de substances, nous cherchons le point critique de \( f(x) \). En résolvant \( f'(x) = 0 \), nous obtenons \( x = 2 \) ou \( x = \frac{4}{3} \). Cependant, \( x = 2 \) est le seul point dans l'intervalle d'intérêt. Donc, le maximum de substances est atteint après \( 2 \) minutes.
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