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résolu

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose d'une urne contenant n boules pouvant être de deux couleurs différentes. Le jeu consiste à extraire au hasard une boule de l'urne, puis sans remettre celle-ci dans l'urne à extraire une seconde boule de l'urne. Le joueur a gagné lorsque les deux boules tirées sont de la même couleur. On admet qu'à chaque tirage, toutes les boules de l'urne ont la même probabilité d'être tirées. On dit que le jeu est équitable lorsque la probabilité P(G) que le joueur gagne est égale à1/2

1. Démontrer que si l'urne contient 10 boules dont 4 blanches et 6 rouges alors P(G)= 7/15
2. Dans cette question, l'urne contient 6 boules rouges et d'autres boules qui sont toutes blanches
a. Soit * le nombre de boules blanches contenues dans l'urne. Démontrer que P(G)= x(x-1)+30
/(x+6) (x+5)
b. Combien faudrait-il de boules blanches pour que le jeu soit équitable ?

Répondre :

MAXIMEPORTELA6EN

Réponse:

1. Pour démontrer que P(G) = 7/15 lorsque l'urne contient 10 boules dont 4 blanches et 6 rouges, nous pouvons utiliser la méthode des combinaisons.

Le nombre total de façons d'extraire 2 boules de l'urne est donné par C(10, 2), où C(n, k) représente le nombre de combinaisons de n éléments pris k à la fois.

Le nombre de façons de tirer 2 boules de la même couleur est C(4, 2) + C(6, 2), car nous pouvons soit tirer 2 boules blanches, soit tirer 2 boules rouges.

Ainsi, la probabilité P(G) que les deux boules tirées soient de la même couleur est donnée par P(G) = (C(4, 2) + C(6, 2)) / C(10, 2).

En simplifiant cette expression, nous obtenons P(G) = (6 + 15) / 45 = 21 / 45 = 7 / 15.

Donc, lorsque l'urne contient 10 boules dont 4 blanches et 6 rouges, la probabilité que le joueur gagne est de 7/15.

2a. Pour démontrer que P(G) = x(x-1) / ((x+6)(x+5)) lorsque l'urne contient 6 boules rouges et x boules blanches, nous utilisons à nouveau la méthode des combinaisons.

Le nombre total de façons d'extraire 2 boules de l'urne est C(x+6, 2).

Le nombre de façons de tirer 2 boules de la même couleur est C(x, 2) + C(6, 2), car nous pouvons soit tirer 2 boules blanches, soit tirer 2 boules rouges.

Ainsi, la probabilité P(G) que les deux boules tirées soient de la même couleur est donnée par P(G) = (C(x, 2) + C(6, 2)) / C(x+6, 2).

En simplifiant cette expression, nous obtenons P(G) = (x(x-1) + 15) / ((x))

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