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Explications étape par étape:
1. Pour montrer que -1 est une racine de la fonction \(f(x) = 3x^7 - 6x - 9\), substituez x par -1 dans l'expression de la fonction et montrez que \(f(-1) = 0\).
2. Utilisez la factorisation pour montrer que \(f(x) = 3(x + 1)(x - 3)\) en développant le produit.
3. Les solutions de l'équation \(f(x) = 0\) sont les valeurs de x pour lesquelles la fonction s'annule. Utilisez la factorisation obtenue à la question 2 pour trouver ces solutions.
4. Faites un schéma à main levée en esquissant la courbe à partir des informations que vous avez, notamment les racines et le signe de la fonction.
5. Tracez la courbe de la fonction en utilisant un logiciel graphique ou un outil en ligne, en marquant clairement les points d'intersection avec les axes.
6. L'axe de symétrie d'une fonction quadratique est donné par \(x = -\frac{b}{2a}\). Appliquez cette formule à la factorisation obtenue à la question 2.
7. Pour dresser le tableau de signes, choisissez des points de test dans chaque intervalle délimité par les racines. Évaluez \(f(x)\) pour ces points et déterminez le signe de la fonction dans chaque intervalle.
8. Pour résoudre \(f(x) \leq 0\), trouvez les intervalles où la fonction est négative (tableau de signes) et exprimez les solutions.
9. Expliquez pourquoi le minimum de la fonction est atteint en 1 en vérifiant le signe de la dérivée de \(f(x)\) autour de cette valeur.
10. Utilisez la dérivée de la fonction pour déterminer les points critiques, puis examinez le signe de la dérivée dans chaque intervalle pour dresser le tableau de variations.
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