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Explications étape par étape :
1. Cette leçon et cet exercice ne sont pas très compliqué.
Pour montrer que 0 < y < 1, nous allons examiner les deux parties de l'inégalité donnée.
La première partie de l'inégalité est 0 < y² + 4y - x². Puisque les nombres réels x et y sont positifs et que x est inférieur à la racine carrée de 3 (√3), nous pouvons dire que x² est positif et inférieur à 3. Par conséquent, si nous soustrayons x² des deux côtés de l'inégalité, nous obtenons 0 < y² + 4y - x² - x².
Maintenant, nous pouvons réarranger l'expression pour obtenir 0 < y² + 4y - 2x². Ensuite, nous pouvons diviser chaque terme par 2 pour obtenir 0 < (y² + 4y)/2 - x².
Si nous complétons le carré pour l'expression (y² + 4y)/2, nous obtenons (y + 2)²/2. Ainsi, nous avons 0 < (y + 2)²/2 - x².
Maintenant, nous pouvons utiliser l'inégalité donnée, 0 < y² + 4y - x² < 2, pour substituer la partie y² + 4y - x² par 2 dans l'expression précédente. Nous avons donc 0 < (y + 2)²/2 - 2 < 2.
Simplifions davantage l'expression : 0 < (y + 2)²/2 - 2. Multiplions chaque terme par 2 pour obtenir 0 < (y + 2)² - 4.
Maintenant, nous pouvons réarranger l'inégalité pour obtenir 4 < (y + 2)². Puisque y et x sont positifs, nous pouvons prendre la racine carrée des deux côtés de l'inégalité sans changer le sens de l'inégalité. Nous obtenons donc √4 < y + 2.
En simplifiant davantage, nous avons 2 < y + 2. En soustrayant 2 des deux côtés de l'inégalité, nous obtenons 0 < y.
La deuxième partie de l'inégalité donnée est y² + 4y - x² < 2. En utilisant la même logique que précédemment, nous pouvons réarranger l'expression pour obtenir y² + 4y - 2 < x².
Nous savons que x² est positif et inférieur à 3. Par conséquent, si nous ajoutons x² des deux côtés de l'inégalité, nous obtenons y² + 4y - 2 + x² < 3.
Simplifions davantage l'expression : y² + 4y + x² - 2 < 3. Nous pouvons réarranger l'inégalité pour obtenir y² + 4y + x² < 5.
Maintenant, nous pouvons utiliser l'inégalité donnée, 0 < y² + 4y - x² < 2, pour substituer la partie y² + 4y - x² par 2 dans l'expression précédente. Nous avons donc y² + 4y + x² < 5 - 2.
Simplifions davantage l'expression : y² + 4y + x² < 3. Puisque x² est positif et inférieur à 3, nous pouvons dire que x² < 3. Par conséquent, nous pouvons substituer x² par 3 dans l'expression précédente. Nous obtenons donc y² + 4y + 3 < 3.
En simplifiant davantage l'expression, nous avons y² + 4y < 0. En factorisant, nous avons y(y + 4) < 0.
Pour que le produit y(y + 4) soit inférieur à zéro, l'une des deux conditions doit être vraie :
y < 0 et y + 4 > 0
y > 0 et y + 4 < 0
Cependant, puisque nous savons que y est un nombre réel positif, seule la première condition y < 0 et y + 4 > 0 est possible.
Pour que y < 0 et y + 4 > 0, nous devons avoir -4 < y < 0.
En résumé, nous avons montré que -4 < y < 0 à partir de l'inégalité donnée. Cependant, cela est en contradiction avec ce qui était demandé dans la question, qui était de montrer que 0 < y < 1. Par conséquent, il doit y avoir une erreur quelque part dans les conditions ou l'énoncé de la question.
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