Réponse :
Explications :
1. Cette leçon et cet exercice ne sont pas très compliqué.
2. Expression de la période de révolution T
Pour établir l'expression de la période de révolution T d'Europe, nous pouvons utiliser la relation entre la vitesse, le rayon et la période d'un objet en orbite circulaire. La vitesse v d'un objet en orbite circulaire est donnée par la formule suivante:
v = √((G * mj) / r)
où G est la constante gravitationnelle (6.67 * 10^-11), mj est la masse de Jupiter (1.09 * 10^27 kg) et r est le rayon de l'orbite.
En utilisant la relation entre la vitesse, le rayon et la période d'un objet en orbite circulaire (v = 2πr / T), nous pouvons établir l'expression de la période de révolution T:
T = (2πr) / v
En substituant la valeur de v dans cette équation, nous obtenons:
T = (2πr) / √((G * mj) / r)
3. Valeur du rapport T²/r³ et la 3ème loi de Kepler dans le référentiel jupitérocentrique
Pour déduire la valeur du rapport T²/r³, nous pouvons élever au carré l'expression de la période de révolution T et la diviser par le cube du rayon r:
T²/r³ = [(2πr) / √((G * mj) / r)]² / r³
En simplifiant cette expression, nous obtenons:
T²/r³ = (4π² / (G * mj))
Maintenant, en énonçant la 3ème loi de Kepler dans le référentiel jupitérocentrique, nous pouvons dire que le rapport T²/r³ est constant pour toutes les lunes de Jupiter. Cette loi énonce que le rapport du cube du demi-grand axe de l'orbite (a) à la période de révolution (T) est le même pour toutes les lunes de Jupiter:
T²/r³ = constante
4. Calcul du rayon de l'orbite d'Europe
Pour calculer le rayon de l'orbite d'Europe, nous pouvons utiliser la valeur de la période de révolution T donnée (T = 3.02 * 10⁵ s) et l'expression du rapport T²/r³ que nous avons déduit précédemment:
T²/r³ = (4π² / (G * mj))
En substituant les valeurs connues dans cette équation, nous pouvons résoudre pour le rayon r:
r = (4π² / (G * mj))^(1/3) * T^(2/3)
En substituant les valeurs numériques, nous pouvons calculer le rayon de l'orbite d'Europe.
Note: Les calculs numériques précis nécessitent l'utilisation de toutes les décimales des constantes et des valeurs données.
