1. Pour vérifier que \(f\) est définie sur \(R\), il faut s'assurer que le dénominateur \(2 + \cos(x)\) ne s'annule pas. Comme \(\cos(x)\) varie entre -1 et 1, \(2 + \cos(x)\) reste toujours positif, et donc \(f\) est bien définie sur \(R\).
2. a. Pour démontrer que \(f\) est périodique de période \(2\pi\), on peut montrer que \(f(x + 2\pi) = f(x)\) pour tout \(x\) dans \(R\), utilisant les propriétés trigonométriques.
b. Si \(f\) est périodique de période \(2\pi\), alors la courbe \(C\) est également périodique sur cet intervalle.
3. a. Pour démontrer que \(f\) est impaire, il faut montrer que \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x\) dans \(R\), en utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques.
b. Si \(f\) est impaire, alors la courbe \(C\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
4. En combinant les résultats des questions 2.a. et 3.a., on peut montrer que \(f\) est périodique de période \(2\pi\) et impaire, ce qui permet de limiter l'étude de \(f\) à l'intervalle \([0, \pi]\).
5. a. La dérivée de \(f\) est \(f'(x) = \frac{1 + 2 \cos(x)}{(2 + \cos(x))^2}\).
b. Pour étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([0, \pi]\), on examine le signe de \(1 + 2 \cos(x)\) et \((2 + \cos(x))^2\) sur cet intervalle.
c. En utilisant les résultats de la question 5.b., on peut dresser le tableau de variation de \(f\) sur \([0, \pi]\), en identifiant les points critiques où \(f'(x) = 0\) et les points où \(f'\) change de signe.
