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Explications étape par étape :
1°) Pour x = 3cm, l'aire du rectangle est calculée en multipliant la longueur x par la largeur, qui est également x. Donc, l'aire du rectangle pour x = 3cm est 3cm * 3cm = 9cm².
2°) Pour exprimer l'aire du rectangle en fonction de x, on utilise la formule de l'aire d'un rectangle, qui est A = longueur * largeur. Dans ce cas, la longueur et la largeur sont toutes les deux égales à x. Donc, l'aire du rectangle en fonction de x est A(x) = x * x = x².
3°) Pour déterminer la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale, nous devons examiner les valeurs de l'aire du rectangle pour chaque valeur donnée de x dans le tableau de valeurs.
X | Aire
1 | 1
1,5 | 2,25
2 | 4
2,5 | 6,25
3 | 9
3,5 | 12,25
4 | 16
4,5 | 20,25
En regardant les valeurs de l'aire du rectangle, nous pouvons voir que l'aire semble maximale lorsque x = 4,5cm, car l'aire est de 20,25cm² à ce point.
4°) Pour justifier que A(x) = 5x - x², nous pouvons utiliser la formule de l'aire du rectangle A(x) = x * x = x². En développant cette équation, nous obtenons A(x) = x². Ensuite, nous pouvons simplifier cette équation en factorisant x² pour obtenir A(x) = x * (5 - x) = 5x - x².
5°) En utilisant le tableau de valeurs, nous pouvons trouver :
a) Pour trouver l'image de 2,5 par la fonction A, nous remplaçons x par 2,5 dans l'expression A(x) = 5x - x². Donc, A(2,5) = 5 * 2,5 - (2,5)² = 12,5 - 6,25 = 6,25cm².
b) Pour trouver un antécédent de 6 par la fonction A, nous devons résoudre l'équation A(x) = 6. Donc, 5x - x² = 6. En résolvant cette équation, nous obtenons x² - 5x + 6 = 0. En factorisant cette équation, nous obtenons (x - 2)(x - 3) = 0. Donc, les antécédents de 6 sont x = 2 et x = 3.
6°) Pour représenter les données du tableau de valeurs dans un repère, nous plaçons les valeurs de x sur l'axe des abscisses et les valeurs de l'aire correspondante A(x) sur l'axe des ordonnées. En traçant les points correspondants, nous pouvons ensuite relier les points à main levée pour obtenir la courbe représentative de la fonction A.
7°) En répondant graphiquement aux questions suivantes :
a) Pour un côté du rectangle mesurant 0,5cm, nous trouvons cette valeur sur l'axe des abscisses et nous lisons l'aire correspondante sur l'axe des ordonnées. L'ordre de grandeur de l'aire sera approximativement 0,25cm².
b) Pour un côté du rectangle mesurant 5cm, nous trouvons cette valeur sur l'axe des abscisses et nous lisons l'aire correspondante sur l'axe des ordonnées. L'ordre de grandeur de l'aire sera approximativement 0cm², car si un côté mesure 5cm, l'autre côté doit mesurer 0cm pour former un rectangle.
c) Pour trouver un rectangle dont l'aire est environ égale à 1cm², nous trouvons cette valeur sur l'axe des ordonnées et nous lisons les dimensions correspondantes sur l'axe des abscisses. Les dimensions d'un rectangle dont l'aire est environ égale à 1cm² sont x = 2cm et x = 3cm.
d) La nature du rectangle dont l'aire est maximale peut être déterminée en regardant la courbe représentative de la fonction A. Si la courbe atteint un maximum, cela indique que l'aire du rectangle est maximale. Dans ce cas, la courbe atteint un maximum lorsque x = 4,5cm, ce qui suggère que le rectangle dont l'aire est maximale est un carré avec des côtés de 4,5cm.
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