Réponse :
Explications étape par étape :
Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.
a) Montrer que AC^2 = 200 :
On sait que le côté du carré ABCD est de longueur 10, car il représente la valeur d'une pièce de dix sous.
Le théorème de Pythagore nous permet de calculer la longueur de la diagonale AC :
AC^2 = AB^2 + BC^2
Comme AB = BC = 10 (les côtés du carré ABCD ont tous la même longueur), nous avons :
AC^2 = 10^2 + 10^2
AC^2 = 100 + 100
AC^2 = 200
Donc, AC^2 est égal à 200.
b) Expliquer pourquoi AE = AC :
Dans le carré ABCD, les diagonales AC et BD se croisent en leur milieu. Cela signifie que le point E, où elles se croisent, est le milieu de AC.
Comme AC est une diagonale du carré, elle passe également par le centre du carré, qui est le point O. Le segment AC est donc un rayon du cercle circonscrit au carré.
Dans un cercle, les rayons sont tous de même longueur. Par conséquent, AE est égal à AC, car ils sont tous deux des rayons du cercle circonscrit.
Donc AE = AC.
c) Montrer que l'aire du carré DEFG est le triple de l'aire du carré ABCD :
L'aire d'un carré est égale au carré de la longueur de ses côtés.
Dans le carré ABCD, chaque côté mesure 10, donc son aire est :
Aire(ABCD) = (10)^2 = 100
Dans le carré DEFG, chaque côté mesure AE. Comme nous avons établi précédemment que AE = AC, nous savons que AE mesure également 10.
Aire(DEFG) = (AE)^2 = (10)^2 = 100
Nous pouvons voir que l'aire du carré DEFG est égale à l'aire du carré ABCD.
De plus, puisque AE = AC, cela signifie que les deux carrés ont la même longueur de côté.
Donc, l'aire du carré DEFG est le triple de l'aire du carré ABCD, car 100 (aire de ABCD) multipliée par 3 est égale à 300, qui est l'aire de DEFG.
Ainsi, l'aire du carré DEFG est le triple de l'aire du carré ABCD.
