Réponse :
Explications étape par étape :
Exercice 1: Soit (u) la suite définie par un = -4÷5n² + 6 pour tout nEN (entier positif ou nul).
Calcul des cinq premiers termes de la suite (un): Pour trouver les cinq premiers termes de la suite (un), nous devons substituer les valeurs de n de 0 à 4 dans la formule donnée:
Pour n = 0:
u₀ = -4÷5(0)² + 6 = -4÷0 + 6 = Indéterminé
Pour n = 1:
u₁ = -4÷5(1)² + 6 = -4÷5 + 6 = 6 - 0.8 = 5.2
Pour n = 2:
u₂ = -4÷5(2)² + 6 = -4÷20 + 6 = 6 - 0.2 = 5.8
Pour n = 3:
u₃ = -4÷5(3)² + 6 = -4÷45 + 6 = 6 - 0.1778 = 5.8222
Pour n = 4:
u₄ = -4÷5(4)² + 6 = -4÷80 + 6 = 6 - 0.05 = 5.95
Donc, les cinq premiers termes de la suite (un) sont: u₀ indéterminé, u₁ = 5.2, u₂ = 5.8, u₃ = 5.8222, u₄ = 5.95.
Représentation graphique des cinq premiers termes de la suite (un) dans un repère orthonormé: Pour représenter graphiquement les cinq premiers termes de la suite (un), nous plaçons les valeurs calculées sur un graphique cartésien, où l'axe des abscisses (x) représente les valeurs de n et l'axe des ordonnées (y) représente les valeurs de la suite (un).
(a) Sens de variation de la suite (un): D'après les valeurs calculées, on peut observer que les termes de la suite (un) augmentent progressivement.
(b) Expression de Un+1 en fonction de n et calcul de Un+1 - Un:
Pour exprimer Un+1 en fonction de n, nous remplaçons n par n+1 dans la formule donnée pour Un:
Un+1 = -4÷5(n+1)² + 6
Calcul de Un+1 - Un:
Un+1 - Un = [-4÷5(n+1)² + 6] - [-4÷5n² + 6]
= -4÷5(n+1)² + 6 + 4÷5n² - 6
= -4÷5(n² + 2n + 1) + 4÷5n²
= -4÷5n² - 8÷5n - 4÷5 + 4÷5n²
= -8÷5n - 4÷5 + 4÷5n² - 4÷5n²
= -8÷5n - 4÷5
Le signe de Un+1 - Un est négatif.
(c) Sens de variation de la suite (un):
Comme Un+1 - Un est négatif, cela signifie que les termes de la suite (un) diminuent progressivement.
